مسابقة دكتوراه 2020 — جامعة سعد دحلب البليدة 1

التمرين 1

Convergence d'une suite de fonctions

#analyse#suites de fonctions#convergence uniforme

Soit $(f_n)_{n\ge1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par $f_n(x)=\frac{2^n x}{1+2^n n x^2}.$

Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
Calculer $I_n=\displaystyle\int_0^1 f_n(t)\,dt$ et $\lim_{n\to+\infty} I_n$ . En déduire que la suite $(f_n)_n$ n'est pas uniformément convergente sur $[0,1]$ .
Donner une démonstration directe du fait que la suite $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$ .

Remarque : C'est un exemple classique où la convergence simple n'entraîne ni la convergence des intégrales, ni la convergence uniforme — la 'bosse' de $f_n$ devient de plus en plus haute et étroite près de $0$ .

◀الحل

Résumé de la solution

Pour $x=0$ : $f_n(0)=0$ . Pour $x\neq0$ fixé, en divisant par $2^n$ : $f_n(x)=\dfrac{x}{2^{-n}+nx^2}\to0$ quand $n\to+\infty$ . Donc $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$ .
En posant $u=2^n n t^2$ , on obtient $I_n=\int_0^1 f_n(t)\,dt=\frac{1}{2n}\ln(1+2^n n).$ Comme $\ln(1+2^nn)\sim n\ln2+\ln n$ , on a $I_n\to\dfrac{\ln2}{2}\neq0=\int_0^1 0\,dt$ . L'interversion limite/intégrale échoue, donc $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$ .
Le maximum de $f_n$ est atteint en $x_n=\dfrac{1}{\sqrt{n2^n}}$ et vaut $f_n(x_n)=\dfrac{2^{n/2-1}}{\sqrt n}\to+\infty$ . Donc $\sup_{[0,1]}|f_n-0|\to+\infty$ , ce qui prouve directement l'absence de convergence uniforme.

التمرين 2

Calcul de l'intégrale de Gauss via une équation fonctionnelle

#analyse#intégrales#intégrale de Gauss

Pour tout réel positif $x$ on pose : $f(x)=\left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right)^2,\qquad g(x)=\int_0^1 \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt.$

Montrer que $f$ et $g$ sont bien définies et calculer leurs dérivées. On ne cherchera pas à calculer les intégrales qui interviendront.
Montrer que, pour tout réel positif $x$ , $f(x)+g(x)=\frac{\pi}{4}$ .
Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$ .
En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt$ .

Remarque : Cette méthode (équation fonctionnelle liant $f$ et $g$ ) permet de retrouver l'intégrale de Gauss sans passer par les coordonnées polaires en dimension 2 — une alternative élégante à connaître pour un oral.

◀الحل

Résumé de la solution

$f$ est dérivable avec $f'(x)=2e^{-x^2}\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}dt$ . En écrivant $g(x)=e^{-x^2}\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2t^2}dt$ (intégrale sur un compact, dérivation sous le signe intégral licite), on obtient $g'(x)=-2xe^{-x^2}\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2t^2}dt$ .
Par le changement de variable $u=xt$ dans $g'$ , on trouve $g'(x)=-2e^{-x^2}\displaystyle\int_0^x e^{-u^2}du=-f'(x)$ . Donc $f+g$ est constante ; à $x=0$ : $f(0)=0$ , $g(0)=\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}=\frac{\pi}{4}$ . D'où $f(x)+g(x)=\dfrac{\pi}{4}$ pour tout $x\ge0$ .
$0\le g(x)\le e^{-x^2}\cdot\dfrac{\pi}{4}\to0$ quand $x\to+\infty$ .
En passant à la limite dans $f(x)+g(x)=\pi/4$ , on obtient $\left(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt\right)^2=\dfrac{\pi}{4}$ , donc $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\dfrac{\sqrt\pi}{2}$ .

التمرين 3

Espace métrique non localement compact

#topologie#espaces métriques#compacité

On considère $(E,d)$ tel que $E=C([0,\pi],\mathbb{R})$ et $d(f,g)=\sqrt{\int_0^\pi (f(t)-g(t))^2 dt}.$

Soit $(f_n)_{n\ge1}$ la suite de $E$ définie par $f_n(x)=\sin(nx)$ .

Montrer que $(E,d)$ est un espace métrique.
Calculer $d(f_n,0)$ , $n\ge1$ .
Montrer que la suite $(f_n)_{n\ge1}$ n'admet aucune valeur d'adhérence.
En déduire que $E$ n'est pas localement compact.

Remarque : Ce résultat illustre un fait fondamental : en dimension infinie, les boules fermées bornées ne sont (presque) jamais compactes (théorème de Riesz), contrairement au cas de $\mathbb{R}^n$ .

◀الحل

Résumé de la solution

$d$ est la distance associée à la norme $L^2$ ; comme $f,g$ sont continues, $\displaystyle\int_0^\pi(f-g)^2=0\Rightarrow f=g$ (séparation), et l'inégalité triangulaire découle de Cauchy-Schwarz/Minkowski : $(E,d)$ est bien un espace métrique.
$d(f_n,0)^2=\displaystyle\int_0^\pi\sin^2(nx)\,dx=\dfrac{\pi}{2}$ , donc $d(f_n,0)=\sqrt{\pi/2}$ pour tout $n$ .
Pour $n\neq m$ , par orthogonalité des sinus sur $[0,\pi]$ : $d(f_n,f_m)^2=\pi-2\displaystyle\int_0^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=\pi$ . Toutes les distances mutuelles valent $\sqrt\pi>0$ : aucune sous-suite ne peut être de Cauchy, donc $(f_n)$ n'a aucune valeur d'adhérence.
La suite $(f_n)$ est bornée (dans la boule de centre $0$ et rayon $\sqrt{\pi/2}$ ) mais sans sous-suite convergente : cette boule fermée n'est pas compacte. Donc aucun voisinage de $0$ n'est compact, et $E$ n'est pas localement compact.