مسابقة دكتوراه 2017 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf

التمرين 1

Exercice 1 — Opérateur symétrique sur un espace de Hilbert

#hilbert-space#symmetric-operator#continuous-operator#dual-space

Soit $H$ un espace de Hilbert et $K$ une application linéaire de $H$ dans $H$ vérifiant la propriété suivante

\forall x, y \in H : \langle Kx, y \rangle = \langle x, Ky \rangle,

où $\langle \cdot, \cdot \rangle$ désigne le produit scalaire de $H$ .

(2,5 pts) Soit $\ell \in H'$ (où $H'$ désigne le dual de $H$ ). Montrer que $\ell \circ K$ est continue.
(2,5 pts) Montrer que $K$ est continue.

◀الحل

1.

Par Riesz, $\ell(x) = \langle x, a \rangle$ pour un $a \in H$ . Alors $\ell(Kx) = \langle Kx, a \rangle = \langle x, Ka \rangle$ . Donc $\ell \circ K = \langle \cdot, Ka \rangle$ qui est continue (forme linéaire continue).

\boxed{\ell \circ K \text{ est continue}}

2.

Par le théorème du graphe fermé : montrons que le graphe de $K$ est fermé. Si $x_n \to x$ et $Kx_n \to y$ , alors pour tout $z \in H$ : $\langle y, z \rangle = \lim \langle Kx_n, z \rangle = \lim \langle x_n, Kz \rangle = \langle x, Kz \rangle = \langle Kx, z \rangle$ . Donc $y = Kx$ . Le graphe est fermé, donc $K$ est continue.

\boxed{K \text{ est continue}}

التمرين 2

Exercice 2 — Projection orthogonale et décomposition de Hilbert

#hilbert-space#orthogonal-projection#self-adjoint#idempotent

Soit $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe) et $V$ un sous-espace fermé de $H$ .

I. D'après le théorème de la projection orthogonale, à tout élément $x \in H$ correspond un et un seul $y = P_V(x) \in V$ , la projection orthogonale de $x$ sur $V$ , caractérisé par :

\begin{cases} P_V(x) \in V \\\\ \langle P_V(x) - x, y \rangle = 0, \quad \forall y \in V. \end{cases}

Montrer que $x \in V$ si et seulement si $P_V(x) = x$ .
Montrer que si $V^\perp$ est le supplémentaire orthogonal de $V$ et $z = P_{V^\perp}(x)$ , alors $z = (I - P_V)(x)$ , i.e. $H = V \oplus V^\perp$ .
Montrer que $P_V \in \mathcal{L}(H)$ et que $\|P_V\| = 1$ pour $V \neq \{0\}$ .
Montrer que $P_V$ est un opérateur auto-adjoint de $H$ dans $H$ tel que $P_V^2 = P_V$ .

II. Soit $A$ un opérateur linéaire auto-adjoint de $\mathcal{L}(H)$ tel que $A^2 = A$ . Alors $A$ est un projecteur sur un sous-espace fermé $V$ de $H$ .

◀الحل

I.1.

Si $x \in V$ : posons $y = x$ , alors $P_V(x) = x$ (car $x \in V$ et $\langle x - x, v \rangle = 0$ ). Réciproquement, $P_V(x) = x$ implique $x \in V$ par définition.

I.2.

$x = P_V(x) + (x - P_V(x))$ . Posons $z = x - P_V(x)$ . Pour tout $y \in V$ : $\langle z, y \rangle = \langle x - P_V(x), y \rangle = 0$ . Donc $z \in V^\perp$ et $z = P_{V^\perp}(x) = (I-P_V)(x)$ .

I.3.

Linéarité : par unicité de la projection. $\|P_V(x)\|^2 + \|x - P_V(x)\|^2 = \|x\|^2$ (Pythagore), donc $\|P_V(x)\| \leq \|x\|$ . Ainsi $\|P_V\| \leq 1$ . Pour $v \in V$ non nul, $P_V(v) = v$ , donc $\|P_V\| = 1$ .

I.4.

$\langle P_V x, y \rangle = \langle P_V x, P_V y + (y-P_V y) \rangle = \langle P_V x, P_V y \rangle = \langle P_V x + (x-P_V x), P_V y \rangle = \langle x, P_V y \rangle$ . Donc $P_V^* = P_V$ . $P_V^2 = P_V$ car $P_V(P_V(x)) = P_V(x)$ (puisque $P_V(x) \in V$ ).

II.

Soit $V = \text{Im}(A)$ . $A^2 = A$ implique $Ax = x$ pour $x \in V$ . $V$ est fermé car $A$ est continu et auto-adjoint. Pour $x \in V^\perp$ : $\langle Ax, v \rangle = \langle x, Av \rangle = 0$ pour tout $v$ , et $Ax \in V$ , donc $Ax = 0$ . Ainsi $A = P_V$ .