مسابقة دكتوراه 2022 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 2سا

Concours d'accès à la formation de doctorat 3ème cycle, Spécialité : Probabilités et statistiques, Matière : Séries chronologiques (Sujet 1), Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila, Institut des Sciences et Technologie, Département de Mathématiques et Informatique, Laboratoire de Mathématiques et leurs Interactions, 05 mars 2022, durée 02 heures.

التمرين 1

Exercice 1 — Série chronologique : tendance linéaire et exponentielle

#time-series#trend-estimation#least-squares#additive-model

Considérons la série chronologique présentée dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\\ \hline x_t & 2.00 & 5.73 & 6.02 & 10.36 & 10.06 & 13.03 & 15.01 & 16.39 & 18.22 & 20.46 \\\\ \hline \end{array}$

Représenter graphiquement cette série puis proposer un modèle parmi la famille des modèles additifs $Y_t = f(t) + S_t + X_t$ ? Justifier votre réponse.
En supposant que la série n'a pas de composante saisonnière et que la tendance est linéaire ( $f(t) = at + b$ ), estimer cette tendance puis calculer les valeurs de la variable centrée.
En supposant que la série n'a pas de composante saisonnière et que la tendance est exponentielle ( $f(t) = e^{ct + d}$ ), estimer cette tendance puis calculer les valeurs de la variable centrée.
Quel est le meilleur modèle pour cette série ?

◀الحل

1.

Le nuage de points croît de façon quasi linéaire sans oscillation périodique : on propose un modèle additif à tendance seule (pas de saisonnalité), $Y_t = f(t) + X_t$ .

2.

Moindres carrés : $\bar t = 5.5$ , $\bar x = 11.728$ , $\sum t x = 806.21$ , $\sum t^2 = 385$ .

$a = \frac{\sum tx - n\bar t\bar x}{\sum t^2 - n\bar t^2} = \frac{806.21 - 645.04}{385 - 302.5} \approx 1.953, \quad b = \bar x - a\bar t \approx 0.988.$

$\boxed{f(t) \approx 1.953\,t + 0.988}$

La variable centrée est $X_t = x_t - f(t)$ (résidus).

3.

On linéarise : $\ln x_t = ct + d$ . Une régression linéaire de $\ln x_t$ sur $t$ donne $\hat c$ et $\hat d$ , puis $f(t) = e^{\hat c t + \hat d}$ et $X_t = x_t - f(t)$ .

4.

Comme les données sont presque alignées (croissance additive constante d'environ $2$ par pas), le modèle linéaire ajuste mieux (résidus plus faibles) que l'exponentiel.

$\boxed{\text{Modèle linéaire } f(t) = at + b}$

التمرين 2

Exercice 2 — Processus AR(1) : causalité, stationnarité et estimation

#ar-process#stationarity#maximum-likelihood#time-series

Soit $(X_t)$ le processus donné par

$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t,$

où $|\phi| \lt 1$ et les $\varepsilon_t$ sont des variables aléatoires i.i.d. de loi normale $N(0, \sigma^2)$ .

Montrer que le processus $X_t$ est causal.
Le processus $X_t$ est-il stationnaire au second ordre ? Justifier votre réponse.
Écrire la fonction de vraisemblance de $(X_1, X_2, \ldots, X_N)$ .
En déduire les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres inconnus $\phi$ et $\sigma^2$ .

◀الحل

1.

Comme $|\phi| \lt 1$ , la série $X_t = \sum_{j \geq 0} \phi^j \varepsilon_{t-j}$ converge (dans $L^2$ ) et n'utilise que le passé du bruit : le processus est causal.

2.

$\mathbb{E}(X_t) = 0$ , $\mathrm{Var}(X_t) = \dfrac{\sigma^2}{1 - \phi^2}$ , et $\gamma(h) = \dfrac{\sigma^2 \phi^{|h|}}{1 - \phi^2}$ ne dépend que du retard $h$ . Le processus est donc stationnaire au second ordre.

3.

En conditionnant, $X_t \mid X_{t-1} \sim N(\phi X_{t-1}, \sigma^2)$ et $X_1 \sim N\!\left(0, \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\right)$ :

$L = \sqrt{\frac{1-\phi^2}{2\pi\sigma^2}}\,e^{-\frac{(1-\phi^2)x_1^2}{2\sigma^2}} \prod_{t=2}^{N}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left(-\frac{(x_t - \phi x_{t-1})^2}{2\sigma^2}\right).$

4.

En maximisant la vraisemblance conditionnelle :

$\boxed{\hat\phi = \frac{\sum_{t=2}^N x_t x_{t-1}}{\sum_{t=2}^N x_{t-1}^2}, \qquad \hat\sigma^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{t=2}^N (x_t - \hat\phi x_{t-1})^2}$

التمرين 3

Exercice 3 — Espérance conditionnelle et martingale des sommes centrées

#conditional-expectation#martingales#independence#filtration

Soit $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ un espace de probabilité, $\mathcal{G}$ sous-tribu de $\mathcal{F}$ et $X$ une variable aléatoire.

Montrer que l'application $\varphi : X \longmapsto \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G})$ est linéaire.
Si $X$ est une variable aléatoire de $\mathbb{L}^1(\Omega, \mathcal{F}, P)$ indépendante de $\mathcal{G}$ , montrer que $\mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}) = \mathbb{E}(X)$ .
Montrer que si $X$ est $\mathcal{G}$ -mesurable, alors $\mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}) = X$ p.s.
Soient $X_0, X_1, \ldots, X_n$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et centrées et notons $\mathcal{F}_n = \sigma(X_0, X_1, \ldots, X_n)$ . Montrer que $S_n = \sum_{k=0}^n X_k$ est une martingale par rapport à la filtration $\mathcal{F}_n$ .

◀الحل

1.

Pour $a, b \in \mathbb{R}$ , $\mathbb{E}(aX + bY \mid \mathcal{G}) = a\mathbb{E}(X\mid\mathcal{G}) + b\mathbb{E}(Y\mid\mathcal{G})$ p.s. (linéarité de l'espérance conditionnelle).

2.

Pour tout $A \in \mathcal{G}$ , par indépendance $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A X] = P(A)\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\mathbf{1}_A \mathbb{E}(X)]$ . Comme $\mathbb{E}(X)$ est $\mathcal{G}$ -mesurable (constante), $\mathbb{E}(X\mid\mathcal{G}) = \mathbb{E}(X)$ p.s.

3.

Si $X$ est $\mathcal{G}$ -mesurable, elle vérifie la propriété caractéristique $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A X] = \mathbb{E}[\mathbf{1}_A X]$ pour tout $A \in \mathcal{G}$ , donc $\mathbb{E}(X\mid\mathcal{G}) = X$ p.s.

4.

$S_n$ est $\mathcal{F}_n$ -adaptée et intégrable. De plus

$\mathbb{E}(S_{n+1}\mid\mathcal{F}_n) = S_n + \mathbb{E}(X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n) = S_n + \mathbb{E}(X_{n+1}) = S_n,$

car $X_{n+1}$ est indépendante de $\mathcal{F}_n$ et centrée. Donc $(S_n)$ est une martingale.

$\boxed{(S_n) \text{ est une } \mathcal{F}_n\text{-martingale}}$