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مسابقة دكتوراه 2025 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 2سا

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Concours d'accès à la Formation de Doctorat 3ème cycle, Filière Mathématiques (Spécialité Mathématiques Appliquées), Matière : Introduction aux processus aléatoires (Sujet 4), Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila, Institut des Mathématiques et Informatique, Département de Mathématiques (MELILab), 22 février 2025, durée 02 heures.

التمرين 1

Exercice 1 — Tribu triviale et mesurabilité

#sigma-algebra#measurability#conditional-expectation#random-variables

Soit A={∅,Ω}\mathcal{A} = \{\emptyset, \Omega\} (∅\emptyset est l'ensemble vide et Ω\Omega est l'ensemble fondamental ou l'univers).

  1. Montrez que A\mathcal{A} est une tribu.
  2. Soient XX une variable aléatoire et F\mathcal{F} une tribu sur Ω\Omega, XX est dite F\mathcal{F}-mesurable si : a. pour tout ensemble mesurable EE, l'événement {X∈E}\{X \in E\} appartient à la tribu F\mathcal{F} ; b. pour tout nombre réel xx, l'ensemble {ω∈Ω:X(ω)≤x}\{\omega \in \Omega : X(\omega) \leq x\} appartient à F\mathcal{F} ; c. pour tout nombre réel xx, l'ensemble {ω∈Ω:X(ω)=x}\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\} appartient à F\mathcal{F} ; d. XX prend des valeurs uniquement dans l'ensemble des réels positifs. Choisissez la bonne réponse.
  3. Montrez que toute variable aléatoire constante est A\mathcal{A}-mesurable.
  4. Montrez que pour toute variable aléatoire η\eta, E(η∣A)=E(η)\mathbb{E}(\eta \mid \mathcal{A}) = \mathbb{E}(\eta) p.s.
◀الحل

1.

Ω∈A\Omega \in \mathcal{A} ; ∅c=Ω∈A\emptyset^c = \Omega \in \mathcal{A} ; toute union dénombrable d'éléments de A\mathcal{A} est ∅\emptyset ou Ω\Omega. Donc A\mathcal{A} est une tribu (la tribu triviale).

2.

La bonne réponse est (b) : ∀x∈R,{ω:X(ω)≤x}∈F\forall x \in \mathbb{R}, \{\omega : X(\omega) \leq x\} \in \mathcal{F}.

3.

Si X=cX = c constante : {X≤x}=∅\{X \leq x\} = \emptyset si x<cx \lt c, et =Ω= \Omega si x≥cx \geq c. Dans les deux cas l'ensemble appartient à A\mathcal{A}, donc XX est A\mathcal{A}-mesurable.

4.

E(η∣A)\mathbb{E}(\eta \mid \mathcal{A}) est A\mathcal{A}-mesurable donc constante ; sa valeur est déterminée par E[E(η∣A)1Ω]=E[η]\mathbb{E}[\mathbb{E}(\eta\mid\mathcal{A})\mathbf{1}_\Omega] = \mathbb{E}[\eta]. Donc

E(η∣A)=E(η) p.s.\boxed{\mathbb{E}(\eta \mid \mathcal{A}) = \mathbb{E}(\eta) \text{ p.s.}}

التمرين 2

Exercice 2 — Processus $X_t = e^{-Yt}$ : densité, moments, stationnarité

#stochastic-process#uniform-distribution#autocovariance#stationarity

Soit le processus aléatoire (Xt)t≥0(X_t)_{t \geq 0} défini pour tout t≥0t \geq 0 par :

Xt=exp⁡(−Yt),X_t = \exp(-Yt),

où YY est une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [0,1][0, 1].

  1. Déterminer l'ensemble de définition et celui des phases (états) du processus (Xt)t≥0(X_t)_{t \geq 0}.
  2. Déterminer l'ensemble de toutes les trajectoires du processus (Xt)t≥0(X_t)_{t \geq 0}.
  3. Déterminer la densité du premier ordre du processus (Xt)t≥0(X_t)_{t \geq 0}.
  4. Calculer E(Xt)\mathbb{E}(X_t), var(Xt)\mathrm{var}(X_t).
  5. Calculer la fonction d'auto-covariance.
  6. Est-ce que (Xt)t≥0(X_t)_{t \geq 0} est un processus stationnaire du second ordre ? Justifier.
◀الحل

1.

Ensemble de définition : t≥0t \geq 0. États : X0=1X_0 = 1 et pour t>0t \gt 0, Xt∈[e−t,1]⊂(0,1]X_t \in [e^{-t}, 1] \subset (0, 1].

2.

Pour Y=y∈[0,1]Y = y \in [0,1] fixé, la trajectoire est t↦e−ytt \mapsto e^{-yt} (exponentielles décroissantes). L'ensemble des trajectoires est {t↦e−yt:y∈[0,1]}\{t \mapsto e^{-yt} : y \in [0,1]\}.

3.

Pour t>0t \gt 0, x=e−yt⇒y=−ln⁡xtx = e^{-yt} \Rightarrow y = -\frac{\ln x}{t}, x∈[e−t,1]x \in [e^{-t}, 1]. Comme ∣dydx∣=1tx\left|\frac{dy}{dx}\right| = \frac{1}{tx} :

fXt(x)=1tx,x∈[e−t,1]\boxed{f_{X_t}(x) = \frac{1}{tx}, \quad x \in [e^{-t}, 1]}

4.

E(Xt)=∫01e−yt dy=1−e−tt\mathbb{E}(X_t) = \int_0^1 e^{-yt}\,dy = \dfrac{1 - e^{-t}}{t}. E(Xt2)=∫01e−2yt dy=1−e−2t2t\mathbb{E}(X_t^2) = \int_0^1 e^{-2yt}\,dy = \dfrac{1 - e^{-2t}}{2t}, d'où

var(Xt)=1−e−2t2t−(1−e−tt)2.\mathrm{var}(X_t) = \frac{1 - e^{-2t}}{2t} - \left(\frac{1 - e^{-t}}{t}\right)^2.

5.

C(s,t)=E(XsXt)−E(Xs)E(Xt)C(s,t) = \mathbb{E}(X_s X_t) - \mathbb{E}(X_s)\mathbb{E}(X_t) avec E(XsXt)=E(e−Y(s+t))=1−e−(s+t)s+t\mathbb{E}(X_s X_t) = \mathbb{E}(e^{-Y(s+t)}) = \dfrac{1 - e^{-(s+t)}}{s+t}.

6.

L'espérance E(Xt)=1−e−tt\mathbb{E}(X_t) = \frac{1-e^{-t}}{t} dépend de tt, donc le processus n'est pas stationnaire du second ordre.

التمرين 3

Exercice 3 — Jeu de pile ou face : marche aléatoire et ruine du joueur

#random-walk#gamblers-ruin#stopping-time#expectation

Amine propose un jeu à son petit frère Karime. Au départ, Amine et Karime ont chacun 1000 DA. À chaque fois, ils misent 10 DA chacun. Si la pièce tombe sur pile, Amine gagne 10 DA, sinon c'est Karime qui gagne les 10 DA. La pièce utilisée est truquée : la probabilité que la pièce tombe sur pile est pp, et la probabilité pour que la pièce tombe sur face est 1−p1 - p, avec p>1−p>0p \gt 1 - p \gt 0. On note GnG_n le gain ou la perte d'Amine après le nn-ième pari, avec

P(Gn=+10)=p(Amine gagne 10 DA),P(Gn=−10)=1−p(Amine perd 10 DA).P(G_n = +10) = p \quad (\text{Amine gagne 10 DA}), \qquad P(G_n = -10) = 1 - p \quad (\text{Amine perd 10 DA}).

On définit XnX_n comme la fortune d'Amine après le nn-ième pari : Xn=1000+G1+G2+⋯+GnX_n = 1000 + G_1 + G_2 + \cdots + G_n. L'information des joueurs après le nn-ième pari est représentée par la filtration Fn=σ(G1,…,Gn)\mathcal{F}_n = \sigma(G_1, \ldots, G_n).

  1. Quelle est la probabilité que le gain de Amine GnG_n soit égal à +10+10 ? Quelle est la probabilité que ce gain soit égal à −10-10 ?
  2. Démontrer que la fortune XnX_n d'Amine après nn paris suit un processus de marche aléatoire, en prenant en compte l'indépendance des résultats de chaque pari et les gains/pertes associés.
  3. Trouver la relation qui lie le temps d'arrêt TT à la marche aléatoire. Quelle est l'interprétation du temps TT dans ce cas ?
  4. Calculer la probabilité P(T<+∞)P(T \lt +\infty) pour que la fortune d'Amine atteigne 0 DA (ruine) ou 2000 DA à un moment donné (Xn=0X_n = 0 ou Xn=2000X_n = 2000).
  5. Quelle est l'espérance mathématique de la fortune d'Amine après nn paris ?
◀الحل

1.

P(Gn=+10)=pP(G_n = +10) = p et P(Gn=−10)=1−pP(G_n = -10) = 1 - p.

2.

Les GiG_i sont i.i.d. et Xn=1000+∑i=1nGiX_n = 1000 + \sum_{i=1}^n G_i. Comme Xn=Xn−1+GnX_n = X_{n-1} + G_n avec GnG_n indépendant de Fn−1\mathcal{F}_{n-1}, (Xn)(X_n) est une marche aléatoire (incréments i.i.d.) partant de 10001000.

3.

T=inf⁡{n≥0:Xn=0 ou Xn=2000}T = \inf\{n \geq 0 : X_n = 0 \text{ ou } X_n = 2000\}. C'est le premier instant où la marche atteint une des barrières : TT est l'instant de fin du jeu (ruine d'un des deux joueurs).

4.

Pour une marche bornée entre deux barrières absorbantes avec p≠12p \neq \tfrac12, l'absorption est certaine :

P(T<+∞)=1\boxed{P(T \lt +\infty) = 1}

5.

E(Gi)=10p−10(1−p)=10(2p−1)\mathbb{E}(G_i) = 10p - 10(1-p) = 10(2p - 1), donc

E(Xn)=1000+10n(2p−1)\boxed{\mathbb{E}(X_n) = 1000 + 10n(2p - 1)}

(comme p>12p \gt \tfrac12, la fortune d'Amine croît en moyenne).