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مسابقة دكتوراه 2025 — Centre Universitaire de Barika — الموضوع 03

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation de troisième cycle Doctorat LMD, filière Mathématiques, spécialité Algèbre et Mathématiques Discrètes, épreuve Algèbre 4 (Sujet N°1), Centre Universitaire de Barika, Institut des Sciences, samedi 22 février 2025, durée 1h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Forme bilinéaire sur R₂[X], matrice et forme polaire

#bilinear-forms#quadratic-forms#change-of-basis#polar-form#rank

Soit R2[X]\mathbb{R}_2[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. On considère l'application

Φ:R2[X]×R2[X]→R,Φ(P,Q)=2P(0)Q(2)−6P(1)Q(0).\Phi : \mathbb{R}_2[X] \times \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R},\quad \Phi(P,Q) = 2P(0)Q(2) - 6P(1)Q(0).

  1. (1 pt) Quelle est la dimension de R2[X]\mathbb{R}_2[X] ? (Justifier.)
  2. (1,5 pts) L'application Φ\Phi est-elle bilinéaire ?
  3. (1 pt) L'application Φ\Phi est-elle symétrique ?
  4. (2 pts) Déterminer M=Mat⁡B(Φ)M = \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\Phi), la matrice de Φ\Phi dans la base canonique B={1,X,X2}\mathcal{B} = \{1, X, X^2\}.
  5. (1 pt) Quel est le rang de la forme bilinéaire Φ\Phi ?
  6. (2 pts) Montrer que B′={1,X−1,(X−1)2}\mathcal{B}' = \{1, X-1, (X-1)^2\} est une base de R2[X]\mathbb{R}_2[X] et déterminer la matrice de passage P=Mat⁡B,B′(id)P = \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(\mathrm{id}).
  7. (1,5 pts) Donner la matrice N=Mat⁡B′(Φ)N = \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}'}(\Phi) de Φ\Phi dans la base B′\mathcal{B}'.
  8. (1 pt) Décrire la forme quadratique qq associée à la forme bilinéaire Φ\Phi.
  9. (1,5 pts) On considère la forme bilinéaire symétrique Ψ\Psi définie par Ψ(P,Q)=P(0)Q(2)+P(2)Q(0)−3P(0)Q(1)−3P(1)Q(0)\Psi(P,Q) = P(0)Q(2) + P(2)Q(0) - 3P(0)Q(1) - 3P(1)Q(0). Montrer que Ψ\Psi est la forme polaire de la forme quadratique qq.
◀الحل

1. Dimension

{1,X,X2}\{1, X, X^2\} est une base, donc

dim⁡R2[X]=3.\boxed{\dim \mathbb{R}_2[X] = 3.}

2. Bilinéarité

Les applications P↦P(0),P(1),P(2)P \mapsto P(0), P(1), P(2) sont linéaires. Φ(P,Q)\Phi(P,Q) est une combinaison de produits d'une évaluation de PP par une évaluation de QQ, donc linéaire en PP (à QQ fixé) et en QQ (à PP fixé). Φ\Phi est bilinéaire.

3. Symétrie

Φ(Q,P)=2Q(0)P(2)−6Q(1)P(0)\Phi(Q,P) = 2Q(0)P(2) - 6Q(1)P(0), différent de Φ(P,Q)\Phi(P,Q) en général. Par exemple Φ(1,X)=2⋅1⋅2−6⋅1⋅0=4\Phi(1,X)=2\cdot1\cdot2-6\cdot1\cdot0=4 alors que Φ(X,1)=2⋅0⋅1−6⋅1⋅1=−6\Phi(X,1)=2\cdot0\cdot1-6\cdot1\cdot1=-6. Donc Φ\Phi n'est pas symétrique.

4. Matrice dans la base canonique

On calcule Mij=Φ(ei,ej)M_{ij}=\Phi(e_i,e_j) avec e1=1,e2=X,e3=X2e_1=1,e_2=X,e_3=X^2, en utilisant Φ(ei,ej)=2ei(0)ej(2)−6ei(1)ej(0)\Phi(e_i,e_j)=2e_i(0)e_j(2)-6e_i(1)e_j(0) :

M=(−448−600−600).\boxed{M = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 8 \\ -6 & 0 & 0 \\ -6 & 0 & 0 \end{pmatrix}.}

5. Rang

Les deux dernières lignes sont égales à (−6,0,0)(-6,0,0) et la première est indépendante. Donc

rg⁡Φ=2.\boxed{\operatorname{rg}\Phi = 2.}

6. Nouvelle base et matrice de passage

La famille B′={1,X−1,(X−1)2}\mathcal{B}'=\{1, X-1, (X-1)^2\} est échelonnée en degrés 0,1,20,1,2, donc libre à 3 éléments : c'est une base. En exprimant chaque vecteur dans B\mathcal{B} (1=11=1, X−1=−1+XX-1=-1+X, (X−1)2=1−2X+X2(X-1)^2=1-2X+X^2) :

P=(1−1101−2001).\boxed{P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.}

7. Matrice dans B′\mathcal{B}'

N=tP M PN = {}^{t}P\, M\, P. Le calcul donne

N=(−48−4−2−2−2222).\boxed{N = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ -2 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.}

8. Forme quadratique associée

q(P)=Φ(P,P)=2P(0)P(2)−6P(0)P(1).q(P) = \Phi(P,P) = 2P(0)P(2) - 6P(0)P(1).

9. Forme polaire

La forme polaire de qq est la partie symétrique de Φ\Phi :

b(P,Q)=12(Φ(P,Q)+Φ(Q,P))=12[2P(0)Q(2)−6P(1)Q(0)+2P(2)Q(0)−6P(0)Q(1)]b(P,Q) = \tfrac12\big(\Phi(P,Q)+\Phi(Q,P)\big) = \tfrac12\big[2P(0)Q(2)-6P(1)Q(0)+2P(2)Q(0)-6P(0)Q(1)\big]

=P(0)Q(2)+P(2)Q(0)−3P(1)Q(0)−3P(0)Q(1)=Ψ(P,Q).= P(0)Q(2)+P(2)Q(0)-3P(1)Q(0)-3P(0)Q(1) = \Psi(P,Q).

De plus Ψ(P,P)=2P(0)P(2)−6P(0)P(1)=q(P)\Psi(P,P)=2P(0)P(2)-6P(0)P(1)=q(P). Donc

Ψ est la forme polaire de q.\boxed{\Psi \text{ est la forme polaire de } q.}

التمرين 2

Exercice 2 — Rang et signature d'une forme quadratique sur R³

#quadratic-forms#gauss-reduction#signature#rank

Soit Q:R3→RQ : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} qui à (x,y,z)(x,y,z) associe

Q(x,y,z)=x2−2y2+xz+yz.Q(x,y,z) = x^2 - 2y^2 + xz + yz.

(5 pts) Dire pourquoi QQ est une forme quadratique. Déterminer le rang et la signature de QQ.

◀الحل

Nature de QQ

QQ est un polynôme homogène de degré 2 en (x,y,z)(x,y,z) : c'est une forme quadratique. Sa matrice symétrique dans la base canonique est

A=(10120−21212120).A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac12 \\ 0 & -2 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 & 0 \end{pmatrix}.

Réduction de Gauss

Q=x2+xz−2y2+yz=(x+z2)2−z24−2y2+yz.Q = x^2 + xz - 2y^2 + yz = \left(x + \tfrac{z}{2}\right)^2 - \tfrac{z^2}{4} - 2y^2 + yz.

Ensuite −2y2+yz=−2(y−z4)2+z28-2y^2 + yz = -2\left(y - \tfrac{z}{4}\right)^2 + \tfrac{z^2}{8}. D'où

Q=(x+z2)2−2(y−z4)2−z28.Q = \left(x + \tfrac{z}{2}\right)^2 - 2\left(y - \tfrac{z}{4}\right)^2 - \tfrac{z^2}{8}.

Rang et signature

Trois carrés indépendants, de signes +,−,−+,-,- :

rg⁡(Q)=3,sign⁡(Q)=(1,2).\boxed{\operatorname{rg}(Q) = 3,\qquad \operatorname{sign}(Q) = (1,2).}

التمرين 3

Exercice 3 — Dimensions de la somme et de l'intersection de deux hyperplans

#linear-algebra#hyperplanes#grassmann-formula#dimension

Soit EE un R\mathbb{R}-espace vectoriel de dimension nn et H1H_1, H2H_2 deux hyperplans distincts. Calculer dim⁡(H1+H2)\dim(H_1 + H_2) et dim⁡(H1∩H2)\dim(H_1 \cap H_2). (3 pts)

◀الحل

Somme

dim⁡H1=dim⁡H2=n−1\dim H_1 = \dim H_2 = n-1. Comme H1≠H2H_1 \neq H_2, H1+H2H_1 + H_2 contient strictement H1H_1 (sinon H2⊂H1H_2 \subset H_1 et, par égalité des dimensions, H1=H2H_1=H_2). Donc dim⁡(H1+H2)>n−1\dim(H_1+H_2) \gt n-1 et ≤n\leq n, d'où

dim⁡(H1+H2)=n,H1+H2=E.\boxed{\dim(H_1+H_2) = n,\quad H_1+H_2 = E.}

Intersection

Formule de Grassmann :

dim⁡(H1∩H2)=dim⁡H1+dim⁡H2−dim⁡(H1+H2)=(n−1)+(n−1)−n=n−2.\dim(H_1 \cap H_2) = \dim H_1 + \dim H_2 - \dim(H_1+H_2) = (n-1)+(n-1)-n = n-2.

dim⁡(H1∩H2)=n−2.\boxed{\dim(H_1 \cap H_2) = n-2.}