مسابقة دكتوراه 2019 — Centre Universitaire Salhi Ahmed

التمرين 1

Exercice 1 — Densité conjointe f(x,y)=2xy+½y², lois marginales, conditionnelles, E(Y|X)

#probability#joint-density#conditional-expectation#marginal-distribution

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ ont la densité conjointe

$f(x,y) = \begin{cases} 2xy + \frac{1}{2}y^2 & \text{si } 0 \lt x \lt 1,\; 0 \lt y \lt 1 \\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$

(1,5 pts) Vérifier que $f(x,y)$ est une densité.
(1,5 pts) Trouver les densités marginales $f_X(x)$ et $f_Y(y)$ .
(1,5 pts) Trouver les densités conditionnelles $f_{X|Y=y}(x)$ et $f_{Y|X=x}(y)$ .
(1,5 pts) Calculer $\mathbb{P}\!\left((X,Y)\in\left[0,\tfrac{1}{2}\right]\times\left[0,\tfrac{1}{2}\right]\right)$ .
(1 pt) Trouver $\mathbb{P}(X \lt Y)$ .
(1,5 pts) Trouver $E(Y|X=x)$ .
(1,5 pts) Soit la variable aléatoire $Z=E(Y|X)$ . a. Quelle est la distribution de $Z$ ? b. Trouver $E(Z)$ .

◀الحل

1.

$\int_0^1\int_0^1(2xy+\frac{1}{2}y^2)\,dx\,dy=\int_0^1\left(y+\frac{y^2}{2}\right)dy=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ . Le facteur de normalisation manquant suggère une coquille dans l'énoncé ; on accepte la densité telle quelle et on travaille avec $c$ approprié.

2.

$f_X(x)=\int_0^1(2xy+\frac{y^2}{2})dy=x+\frac{1}{6}$ , pour $x\in(0,1)$ .

$f_Y(y)=\int_0^1(2xy+\frac{y^2}{2})dx=y+\frac{y^2}{2}$ , pour $y\in(0,1)$ .

3.

$f_{X|Y=y}(x)=\dfrac{2xy+\frac{y^2}{2}}{y+\frac{y^2}{2}}=\dfrac{2x+\frac{y}{2}}{1+\frac{y}{2}}$ .

$f_{Y|X=x}(y)=\dfrac{2xy+\frac{y^2}{2}}{x+\frac{1}{6}}$ .

4.

$P=\int_0^{1/2}\int_0^{1/2}(2xy+\frac{y^2}{2})dx\,dy=\int_0^{1/2}\left(\frac{y}{4}+\frac{y^2}{2}\right)dy=\frac{1}{32}+\frac{1}{48}=\frac{5}{96}$ .

5.

$P(X\lt Y)=\int_0^1\int_0^y(2xy+\frac{y^2}{2})dx\,dy=\int_0^1(y^3+\frac{y^3}{2})dy=\frac{3}{8}$ .

6.

$E(Y|X=x)=\dfrac{\int_0^1 y(2xy+\frac{y^2}{2})dy}{f_X(x)}=\dfrac{\frac{2x}{3}+\frac{1}{8}}{x+\frac{1}{6}}$ .

7.

$Z=E(Y|X)$ est une v.a. fonction de $X$ . Par la loi des espérances itérées :

$E(Z)=E[E(Y|X)]=E(Y)=\int_0^1 y\cdot f_Y(y)\,dy=\int_0^1\left(y^2+\frac{y^3}{2}\right)dy=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\boxed{\frac{11}{24}}.$

التمرين 2

Exercice 2 — Variable sans mémoire, loi géométrique, S=X+Y, loi conditionnelle

#probability#geometric-distribution#memoryless-property#conditional-distribution

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ , telle que pour tous $m,n\in\mathbb{N}$ :

$\mathbb{P}(X\geq m+n\mid X\geq m)=\mathbb{P}(X\geq n).$

(on dit que $X$ est sans mémoire).

a. (5 pts) On pose $\mathbb{P}(X=0)=a$ . Déterminer la loi de $X$ . b. (5 pts) Soit $Y$ une copie indépendante de $X$ . Quelle est la loi de $S=X+Y$ ? Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $S=p$ , $p\in\mathbb{N}$ . Interpréter le résultat.

◀الحل

a.

En posant $q=P(X\geq 1)=1-a$ , la propriété sans mémoire donne $P(X\geq n)=q^n$ . Donc :

$P(X=n)=P(X\geq n)-P(X\geq n+1)=q^n(1-q)=a(1-a)^n.$

$\boxed{X\sim\text{Géométrique sur }\mathbb{N}\text{ de paramètre }a.}$

b.

$P(S=p)=\sum_{k=0}^p P(X=k)P(Y=p-k)=(p+1)a^2(1-a)^p$ : $S$ suit une loi binomiale négative (Pascal) de paramètres $(2,a)$ .

Loi conditionnelle : $P(X=k|S=p)=\dfrac{a(1-a)^k\cdot a(1-a)^{p-k}}{(p+1)a^2(1-a)^p}=\dfrac{1}{p+1}$ pour $k=0,\ldots,p$ .

Sachant $S=p$ , $X$ est uniformément distribuée sur $\{0,1,\ldots,p\}$ — propriété caractéristique de la loi géométrique (analogue discret de la propriété de la loi exponentielle).