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مسابقة دكتوراه 2019 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès en 1ère année Doctorat en Mathématiques — Épreuve 1 : Probabilités, Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma, Institut des Sciences et Technologies, Département de Mathématiques et Informatique — Année universitaire 2018/2019.

التمرين 1

Exercice 1 — Probabilité totale : pièces défectueuses (3 machines)

#probability#total-probability#bayes-theorem

Trois machines AA, BB et CC produisent respectivement 50%, 30% et 20% du nombre total des pièces fabriquées dans une usine ; les pourcentages des pièces défectueuses de ces machines sont de 3%, 4% et 5%.

  1. (4 pts) Si l'on prend une pièce au hasard, quelle est la probabilité pour qu'elle soit défectueuse ?
◀الحل

1.

Par la formule des probabilités totales, avec DD = « pièce défectueuse » :

P(D)=0,5×0,03+0,3×0,04+0,2×0,05.\mathbb{P}(D)=0{,}5\times 0{,}03+0{,}3\times 0{,}04+0{,}2\times 0{,}05.

P(D)=0,015+0,012+0,010=0,037.\mathbb{P}(D)=0{,}015+0{,}012+0{,}010=\boxed{0{,}037.}

التمرين 2

Exercice 2 — Densité k·e^{-θy} sur 0≤x≤y : marginales et indépendance

#probability#joint-density#exponential-distribution#independence

Considérons un vecteur aléatoire Z=(X,Y)Z=(X,Y) dont la densité est donnée par

f(x,y)={k e−θysi 0≤x≤y<∞ 0ailleurs.f(x,y)=\begin{cases} k\,e^{-\theta y} & \text{si } 0\leq x\leq y\lt\infty \\\ 0 & \text{ailleurs.} \end{cases}

  1. (2 pts) Montrer que k=θ2k=\theta^2.
  2. (2 pts) Calculer les densités marginales de XX et de YY. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
  3. (2 pts) Calculer P(X≤1,Y≤1)\mathbb{P}(X\leq 1,Y\leq 1) et P(X≤1∣Y≤1)\mathbb{P}(X\leq 1\mid Y\leq 1).
  4. (2 pts) Calculer la densité de probabilité du vecteur (X,Y−X)(X,Y-X) et montrer que XX et Y−XY-X sont indépendants.
◀الحل

1.

∫0∞ ⁣ ⁣∫0yk e−θy dx dy=∫0∞ky e−θy dy=kθ2=1 ⇒ k=θ2.\int_0^\infty\!\!\int_0^y k\,e^{-\theta y}\,dx\,dy=\int_0^\infty k y\,e^{-\theta y}\,dy=\frac{k}{\theta^2}=1\ \Rightarrow\ \boxed{k=\theta^2.}

2.

fX(x)=∫x∞θ2e−θy dy=θe−θx, x≥0(X∼E(θ)).f_X(x)=\int_x^\infty \theta^2 e^{-\theta y}\,dy=\theta e^{-\theta x},\ x\geq 0\quad(X\sim\mathcal{E}(\theta)).

fY(y)=∫0yθ2e−θy dx=θ2y e−θy, y≥0(Y∼Γ(2,θ)).f_Y(y)=\int_0^y \theta^2 e^{-\theta y}\,dx=\theta^2 y\,e^{-\theta y},\ y\geq 0\quad(Y\sim\Gamma(2,\theta)).

Comme f(x,y)≠fX(x)fY(y)f(x,y)\neq f_X(x)f_Y(y) (à cause de la contrainte x≤yx\leq y), XX et YY ne sont pas indépendantes.

3.

P(X≤1,Y≤1)=∫01 ⁣ ⁣∫x1θ2e−θydy dx=1−(1+θ)e−θ.\mathbb{P}(X\leq 1,Y\leq 1)=\int_0^1\!\!\int_x^1\theta^2 e^{-\theta y}dy\,dx=1-(1+\theta)e^{-\theta}.

Or P(Y≤1)=1−(1+θ)e−θ\mathbb{P}(Y\leq 1)=1-(1+\theta)e^{-\theta} (répartition de Γ(2,θ)\Gamma(2,\theta)). Comme {Y≤1}⊂{X≤1}\{Y\leq 1\}\subset\{X\leq 1\} (car X≤YX\leq Y) :

P(X≤1∣Y≤1)=1.\boxed{\mathbb{P}(X\leq 1\mid Y\leq 1)=1.}

4.

Soit U=XU=X, V=Y−XV=Y-X. Le jacobien vaut 1, et 0≤x≤y⇔u≥0, v≥00\leq x\leq y\Leftrightarrow u\geq 0,\ v\geq 0 :

fU,V(u,v)=θ2e−θ(u+v)=(θe−θu)(θe−θv).f_{U,V}(u,v)=\theta^2 e^{-\theta(u+v)}=\left(\theta e^{-\theta u}\right)\left(\theta e^{-\theta v}\right).

La densité se factorise : XX et Y−XY-X sont indépendantes, toutes deux de loi E(θ)\mathcal{E}(\theta).