مسابقة دكتوراه 2019 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 07

1.

$\int_0^\infty\int_0^y k\,e^{-\theta y}dx\,dy=\int_0^\infty k\,y\,e^{-\theta y}dy=\frac{k}{\theta^2}=1$, d'où $k=\theta^2$.

2.

$f_X(x)=\int_x^\infty\theta^2 e^{-\theta y}dy=\theta e^{-\theta x}$, $x\geq 0$ (loi $\mathcal{E}(\theta)$).

$f_Y(y)=\int_0^y\theta^2 e^{-\theta y}dx=\theta^2 y\,e^{-\theta y}$, $y\geq 0$ (loi Gamma$(2,\theta)$).

Comme $f(x,y)\neq f_X(x)f_Y(y)$, $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

3.

Si $Y\leq 1$ alors $X\leq Y\leq 1$, donc $\{Y\leq 1\}\subset\{X\leq 1\}$ :

$\mathbb{P}(X\leq 1,Y\leq 1)=\mathbb{P}(Y\leq 1)=1-e^{-\theta}-\theta e^{-\theta},$

et $\mathbb{P}(X\leq 1\mid Y\leq 1)=1$.

4.

Soit $U=X$, $V=Y-X$ (jacobien $1$), avec $u\geq 0$, $v\geq 0$ :

$f_{U,V}(u,v)=\theta^2 e^{-\theta(u+v)}=\left(\theta e^{-\theta u}\right)\left(\theta e^{-\theta v}\right).$

La densité se factorise : $X\sim\mathcal{E}(\theta)$, $Y-X\sim\mathcal{E}(\theta)$ et $X$ et $Y-X$ sont indépendants.