📚 الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2020 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

⬇️ تحميل☆ حفظ

Concours d'accès en 1ère année Doctorat, Mathématiques, Sujet 2 : Statistique, Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma, Institut S.T., Département M.I. — Année universitaire 2019/2020.

التمرين 1

Exercice 1 — Estimation paramétrique : densité de type Weibull, MV de θ

#statistics#maximum-likelihood#weibull-distribution#exponential-distribution

Première partie : Estimation Paramétrique

On considère la variable aléatoire réelle XX de densité

f(x,θ)={3x2θexp⁡ ⁣(−x3θ)si x>0,  θ>00sinon.f(x,\theta) = \begin{cases} \dfrac{3x^2}{\theta}\exp\!\left(-\dfrac{x^3}{\theta}\right) & \text{si } x\gt 0,\;\theta\gt 0 \\\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

  1. Soit Y=X3θY=\dfrac{X^3}{\theta}. Calculer la loi de YY. En déduire E(Y)\mathbb{E}(Y), Var(Y)\text{Var}(Y), E(X3)\mathbb{E}(X^3) et Var(X3)\text{Var}(X^3).
  2. Déterminer l'estimateur de maximum de vraisemblance θ^n\hat{\theta}_n de θ\theta.
  3. θ^n\hat{\theta}_n est-il sans biais ? Est-il convergent ?
◀الحل

1.

FY(y)=P(X3/θ≤y)=∫0(θy)1/33x2θe−x3/θdx=1−e−yF_Y(y)=\mathbb{P}(X^3/\theta\leq y)=\int_0^{(\theta y)^{1/3}}\frac{3x^2}{\theta}e^{-x^3/\theta}dx=1-e^{-y}.

Donc Y∼Exp(1)Y\sim\text{Exp}(1) : E(Y)=1\mathbb{E}(Y)=1, Var(Y)=1\text{Var}(Y)=1, E(X3)=θ\mathbb{E}(X^3)=\theta, Var(X3)=θ2\text{Var}(X^3)=\theta^2.

2.

ℓ(θ)=nlog⁡3+2∑log⁡xi−nlog⁡θ−1θ∑xi3\ell(\theta)=n\log 3+2\sum\log x_i-n\log\theta-\frac{1}{\theta}\sum x_i^3.

∂ℓ∂θ=−nθ+∑xi3θ2=0⇒\frac{\partial\ell}{\partial\theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{\sum x_i^3}{\theta^2}=0\Rightarrow

θ^n=1n∑i=1nXi3.\boxed{\hat{\theta}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^3.}

3.

E(θ^n)=E(X3)=θ\mathbb{E}(\hat{\theta}_n)=\mathbb{E}(X^3)=\theta → sans biais. ✓

Var(θ^n)=θ2/n→0\text{Var}(\hat{\theta}_n)=\theta^2/n\to 0 → convergent. ✓

التمرين 2

Exercice 2 — Estimation non-paramétrique : fonction de répartition empirique Fn(x)

#statistics#empirical-distribution#nonparametric-estimation#glivenko-cantelli

Deuxième partie : Estimation Non-Paramétrique

On suppose que x1,…,xnx_1,\ldots,x_n sont des réalisations de variables X1,…,XnX_1,\ldots,X_n i.i.d. de fonction de répartition FF et de densité ff.

  1. Donner Fn(x)F_n(x) l'estimateur empirique de FF.
  2. Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, nFn(x)∼B(n,F(x))nF_n(x)\sim\mathcal{B}(n,F(x)).
  3. Montrer que Fn(x)F_n(x) est sans biais et convergent en moyenne quadratique.
  4. Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, Fn(x)→p.s.F(x)F_n(x)\xrightarrow{p.s.}F(x).
  5. Soit xx fixé. Donner un intervalle de confiance de seuil α\alpha pour F(x)F(x).
◀الحل

1.

Fn(x)=1n∑i=1n1Xi≤x.F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{X_i\leq x}.

2.

Les 1Xi≤x\mathbf{1}_{X_i\leq x} sont i.i.d. Bernoulli(F(x))\text{Bernoulli}(F(x)), donc nFn(x)∼B(n,F(x))nF_n(x)\sim\mathcal{B}(n,F(x)).

3.

E[Fn(x)]=F(x)\mathbb{E}[F_n(x)]=F(x) (sans biais).

Var[Fn(x)]=F(x)(1−F(x))n≤14n→0\text{Var}[F_n(x)]=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}\leq\frac{1}{4n}\to 0 (convergent en m.q.).

4.

Par la loi forte des grands nombres appliquée aux 1Xi≤x\mathbf{1}_{X_i\leq x} i.i.d. : Fn(x)→p.s.F(x)F_n(x)\xrightarrow{p.s.}F(x).

5.

Par le TCL : IC de niveau 1−α1-\alpha :

[Fn(x)±z1−α/2Fn(x)(1−Fn(x))n].\left[F_n(x)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{F_n(x)(1-F_n(x))}{n}}\right].