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مسابقة دكتوراه 2020 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès en 1ère année Doctorat — Mathématiques, Sujet 2 : Statistique (Estimation paramétrique et non-paramétrique), Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma, Institut des Sciences et Technologies, Département de Mathématiques et Informatique — Année universitaire 2019/2020.

التمرين 1

Exercice 1 — Estimation paramétrique : loi de Weibull cubique, EMV, biais et convergence

#statistics#maximum-likelihood#weibull-distribution#unbiased-estimator

Première partie : Estimation paramétrique. On considère la variable aléatoire réelle XX de densité

f(x,θ)={3x2θexp⁡ ⁣(−x3θ)si x>0, θ>0 0sinon.f(x,\theta) = \begin{cases} \dfrac{3x^2}{\theta}\exp\!\left(-\dfrac{x^3}{\theta}\right) & \text{si } x\gt 0,\ \theta\gt 0 \\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

  1. (10 pts) Soit Y=X3θY=\dfrac{X^3}{\theta}. Calculer la loi de YY. En déduire E(Y)\mathbb{E}(Y), Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y), E(X3)\mathbb{E}(X^3) et Var⁡(X3)\operatorname{Var}(X^3).
  2. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance θ^n\hat{\theta}_n de θ\theta.
  3. θ^n\hat{\theta}_n est-il sans biais ? Est-il convergent ?
◀الحل

1.

P(Y≤y)=P(X3≤θy)=∫0(θy)1/33x2θe−x3/θdx\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(X^3\leq\theta y)=\int_0^{(\theta y)^{1/3}}\frac{3x^2}{\theta}e^{-x^3/\theta}dx. Avec u=x3/θu=x^3/\theta, du=3x2θdxdu=\frac{3x^2}{\theta}dx :

P(Y≤y)=∫0ye−udu=1−e−y ⇒ Y∼E(1).\mathbb{P}(Y\leq y)=\int_0^y e^{-u}du=1-e^{-y}\ \Rightarrow\ Y\sim\mathcal{E}(1).

Donc E(Y)=1\mathbb{E}(Y)=1, Var⁡(Y)=1\operatorname{Var}(Y)=1. Comme X3=θYX^3=\theta Y : E(X3)=θ\mathbb{E}(X^3)=\theta, Var⁡(X3)=θ2\operatorname{Var}(X^3)=\theta^2.

2.

log⁡L=nlog⁡3+2∑log⁡xi−nlog⁡θ−1θ∑xi3\log L=n\log 3+2\sum\log x_i-n\log\theta-\frac{1}{\theta}\sum x_i^3. En annulant la dérivée : −nθ+∑xi3θ2=0-\frac{n}{\theta}+\frac{\sum x_i^3}{\theta^2}=0.

θ^n=1n∑i=1nXi3.\boxed{\hat{\theta}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^3.}

3.

E(θ^n)=1n∑E(Xi3)=θ\mathbb{E}(\hat{\theta}_n)=\frac{1}{n}\sum\mathbb{E}(X_i^3)=\theta : sans biais. Var⁡(θ^n)=1n2⋅nθ2=θ2n→0\operatorname{Var}(\hat{\theta}_n)=\frac{1}{n^2}\cdot n\theta^2=\frac{\theta^2}{n}\to 0 : convergent (par la loi des grands nombres, θ^n→θ\hat\theta_n\to\theta p.s.).