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مسابقة دكتوراه 2020 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès en 1ère année Doctorat — Mathématiques, Sujet 2 : Statistique (Estimation paramétrique et non-paramétrique), Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma, Institut S.T, Département M.I, année universitaire 2019/2020.

التمرين 1

Exercice 1 — Estimation paramétrique : loi de Weibull cubique, EMV

#statistics#maximum-likelihood#transformation#consistency

Première partie : Estimation paramétrique.

On considère la variable aléatoire réelle XX de densité

f(x,θ)={3x2θexp⁡ ⁣(−x3θ)si x>0, θ>00sinon.f(x,\theta)=\begin{cases} \dfrac{3x^2}{\theta}\exp\!\left(-\dfrac{x^3}{\theta}\right) & \text{si } x\gt 0,\ \theta\gt 0 \\\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

  1. (4 pts) Soit Y=X3θY=\dfrac{X^3}{\theta}. Calculer la loi de YY. En déduire E(Y)\mathbb{E}(Y), Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y), E(X3)\mathbb{E}(X^3) et Var⁡(X3)\operatorname{Var}(X^3).
  2. (3 pts) Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance θ^n\widehat{\theta}_n de θ\theta.
  3. (3 pts) θ^n\widehat{\theta}_n est-il sans biais ? Est-il convergent ?
◀الحل

1.

Posons W=X3W=X^3. Par changement de variable, fW(w)=fX(w1/3)⋅13w−2/3=1θe−w/θf_W(w)=f_X(w^{1/3})\cdot\frac{1}{3}w^{-2/3}=\frac{1}{\theta}e^{-w/\theta}, donc W=X3∼E(1/θ)W=X^3\sim\mathcal{E}(1/\theta) (moyenne θ\theta). Ainsi Y=W/θ∼E(1)Y=W/\theta\sim\mathcal{E}(1).

E(Y)=1,Var⁡(Y)=1,E(X3)=θ,Var⁡(X3)=θ2.\mathbb{E}(Y)=1,\quad \operatorname{Var}(Y)=1,\quad \mathbb{E}(X^3)=\theta,\quad \operatorname{Var}(X^3)=\theta^2.

2.

log⁡L=∑i=1n(ln⁡3+2ln⁡xi−ln⁡θ−xi3θ),∂log⁡L∂θ=−nθ+1θ2∑xi3=0.\log L=\sum_{i=1}^n\left(\ln 3+2\ln x_i-\ln\theta-\frac{x_i^3}{\theta}\right),\qquad \frac{\partial\log L}{\partial\theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}\sum x_i^3=0.

θ^n=1n∑i=1nXi3.\boxed{\widehat{\theta}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^3.}

3.

E(θ^n)=1n∑E(Xi3)=θ\mathbb{E}(\widehat{\theta}_n)=\frac{1}{n}\sum\mathbb{E}(X_i^3)=\theta : sans biais.

Var⁡(θ^n)=1n2∑Var⁡(Xi3)=θ2n→0\operatorname{Var}(\widehat{\theta}_n)=\frac{1}{n^2}\sum\operatorname{Var}(X_i^3)=\frac{\theta^2}{n}\to 0 : convergent (en moyenne quadratique, donc en probabilité).