مسابقة دكتوراه 2020 — Centre Universitaire Salhi Ahmed

التمرين 1

Exercice 1 — Densité conjointe, marginales, conditionnelles et E(Y|X)

#probability#joint-density#conditional-expectation#marginal-distribution

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ ont la densité conjointe

$f(x,y) = \begin{cases} 2xy + \dfrac{3}{2}y^2 & \text{si } 0 \lt x \lt 1,\ 0 \lt y \lt 1 \\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$

(1 pt) Vérifier que $f(x,y)$ est une densité.
(1,5 pts) Trouver les densités marginales $f_X(x)$ et $f_Y(y)$ .
(1,5 pts) Trouver les densités conditionnelles $f_{X|Y=y}(x)$ et $f_{Y|X=x}(y)$ .
(1,5 pts) Calculer $\mathbb{P}\left((X,Y)\in[0,\tfrac{1}{2}]\times[0,\tfrac{1}{2}]\right)$ .
(1,5 pts) Trouver $\mathbb{P}(X\lt Y)$ .
(1,5 pts) Trouver $\mathbb{E}(Y|X=x)$ .
(1,5 pts) Soit la variable aléatoire $Z=\mathbb{E}(Y|X)$ . a. Quelle est la distribution de $Z$ ? b. Trouver $\mathbb{E}(Z)$ .

◀الحل

1.

$\int_0^1\int_0^1\left(2xy+\tfrac{3}{2}y^2\right)dx\,dy=\int_0^1\left(y+\tfrac{3}{2}y^2\right)dy=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1$ , et $f\geq 0$ . C'est bien une densité.

2.

$f_X(x)=\int_0^1\left(2xy+\tfrac{3}{2}y^2\right)dy=x+\tfrac{1}{2}$ pour $0\lt x\lt 1$ .

$f_Y(y)=\int_0^1\left(2xy+\tfrac{3}{2}y^2\right)dx=y+\tfrac{3}{2}y^2$ pour $0\lt y\lt 1$ .

3.

$f_{X|Y=y}(x)=\frac{2xy+\tfrac{3}{2}y^2}{y+\tfrac{3}{2}y^2},\qquad f_{Y|X=x}(y)=\frac{2xy+\tfrac{3}{2}y^2}{x+\tfrac{1}{2}}.$

4.

$\int_0^{1/2}\int_0^{1/2}\left(2xy+\tfrac{3}{2}y^2\right)dx\,dy=\int_0^{1/2}\left(\tfrac{y}{4}+\tfrac{3}{4}y^2\right)dy=\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}$ .

$\boxed{\mathbb{P}=\tfrac{1}{16}.}$

5.

$\mathbb{P}(X\lt Y)=\int_0^1\int_0^y\left(2xy+\tfrac{3}{2}y^2\right)dx\,dy=\int_0^1\left(y^3+\tfrac{3}{2}y^3\right)dy=\int_0^1\tfrac{5}{2}y^3\,dy$ .

$\boxed{\mathbb{P}(X\lt Y)=\tfrac{5}{8}.}$

6.

$\mathbb{E}(Y|X=x)=\dfrac{\int_0^1 y\left(2xy+\tfrac{3}{2}y^2\right)dy}{x+\tfrac{1}{2}}=\dfrac{\tfrac{2x}{3}+\tfrac{3}{8}}{x+\tfrac{1}{2}}$ .

7.

a. $Z=g(X)$ avec $g(x)=\dfrac{\tfrac{2x}{3}+\tfrac{3}{8}}{x+\tfrac{1}{2}}$ , où $X$ a pour densité $x+\tfrac{1}{2}$ sur $(0,1)$ .

b. Par la tour, $\mathbb{E}(Z)=\mathbb{E}(Y)=\int_0^1 y\left(y+\tfrac{3}{2}y^2\right)dy=\tfrac{1}{3}+\tfrac{3}{8}$ .

$\boxed{\mathbb{E}(Z)=\tfrac{17}{24}.}$

التمرين 2

Exercice 2 — Variable sans mémoire sur N : loi géométrique et loi conditionnelle

#probability#memoryless#geometric-distribution#conditional-distribution

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ , telle que pour tous $m,n\in\mathbb{N}$

$\mathbb{P}(X\geq m+n\mid X\geq m)=\mathbb{P}(X\geq n)$

(on dit que $X$ est sans mémoire).

a. (5 pts) On pose $\mathbb{P}(X=0)=a$ . Déterminer la loi de $X$ . b. (5 pts) Soit $Y$ une copie indépendante de $X$ . Quelle est la loi de $S=X+Y$ ? Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $S=p$ , $p\in\mathbb{N}$ . Interpréter le résultat.

◀الحل

a.

En posant $u_n=\mathbb{P}(X\geq n)$ , la propriété donne $u_{m+n}=u_m u_n$ , donc $u_n=u_1^n$ . Comme $\mathbb{P}(X=0)=1-u_1=a$ , on a $u_1=1-a$ et

$\mathbb{P}(X=n)=u_n-u_{n+1}=(1-a)^n-(1-a)^{n+1}=a(1-a)^n,\quad n\geq 0.$

$\boxed{X\sim\text{géométrique}:\ \mathbb{P}(X=n)=a(1-a)^n.}$

b.

$S=X+Y$ somme de deux géométriques i.i.d. :

$\mathbb{P}(S=p)=\sum_{k=0}^p a(1-a)^k\,a(1-a)^{p-k}=a^2(1-a)^p(p+1).$

Loi conditionnelle :

$\mathbb{P}(X=k\mid S=p)=\frac{a(1-a)^k\,a(1-a)^{p-k}}{a^2(1-a)^p(p+1)}=\frac{1}{p+1},\quad k=0,\ldots,p.$

Sachant $S=p$ , $X$ suit la loi uniforme sur $\{0,1,\ldots,p\}$ : aucune valeur n'est privilégiée, conséquence de l'absence de mémoire.