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مسابقة دكتوراه 2020 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 07

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès en 1ère année Doctorat — Mathématiques, Sujet 2 : Statistique (Estimation paramétrique et non-paramétrique), Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma, Institut S.T, Département M.I — année universitaire 2019/2020.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi de type Weibull : loi de X³, EMV et propriétés

#statistics#maximum-likelihood#weibull-distribution#unbiased-estimator

Première partie : Estimation paramétrique.

On considère la variable aléatoire réelle XX de densité

f(x,θ)={3x2θexp⁡ ⁣(−x3θ)si x>0, θ>0 0sinon.f(x,\theta) = \begin{cases} \dfrac{3x^2}{\theta}\exp\!\left(-\dfrac{x^3}{\theta}\right) & \text{si } x\gt 0,\ \theta\gt 0 \\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

  1. (4 pts) Soit Y=X3θY=\dfrac{X^3}{\theta}. Calculer la loi de YY. En déduire E(Y)\mathbb{E}(Y), Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y), E(X3)\mathbb{E}(X^3) et Var⁡(X3)\operatorname{Var}(X^3).
  2. (3 pts) Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance θ^n\hat{\theta}_n de θ\theta.
  3. (3 pts) θ^n\hat{\theta}_n est-il sans biais ? Est-il convergent ?
◀الحل

1.

P(Y≤y)=P(X≤(θy)1/3)=∫0(θy)1/33x2θe−x3/θdx\mathbb{P}(Y\leq y)=\mathbb{P}(X\leq(\theta y)^{1/3})=\int_0^{(\theta y)^{1/3}}\frac{3x^2}{\theta}e^{-x^3/\theta}dx. Avec u=x3/θu=x^3/\theta, du=3x2θdxdu=\frac{3x^2}{\theta}dx :

P(Y≤y)=∫0ye−udu=1−e−y ⇒ Y∼E(1).\mathbb{P}(Y\leq y)=\int_0^y e^{-u}du=1-e^{-y}\ \Rightarrow\ Y\sim\mathcal{E}(1).

Donc E(Y)=1\mathbb{E}(Y)=1, Var⁡(Y)=1\operatorname{Var}(Y)=1. Comme X3=θYX^3=\theta Y : E(X3)=θ\mathbb{E}(X^3)=\theta, Var⁡(X3)=θ2\operatorname{Var}(X^3)=\theta^2.

2.

ln⁡L=∑ln⁡(3xi2)−nln⁡θ−1θ∑xi3\ln L=\sum\ln(3x_i^2)-n\ln\theta-\frac{1}{\theta}\sum x_i^3. En annulant la dérivée : −nθ+1θ2∑xi3=0-\frac{n}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}\sum x_i^3=0.

θ^n=1n∑i=1nXi3.\boxed{\hat{\theta}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^3.}

3.

E(θ^n)=E(X3)=θ\mathbb{E}(\hat{\theta}_n)=\mathbb{E}(X^3)=\theta : sans biais. Var⁡(θ^n)=Var⁡(X3)n=θ2n→0\operatorname{Var}(\hat{\theta}_n)=\frac{\operatorname{Var}(X^3)}{n}=\frac{\theta^2}{n}\to 0 : convergent.

التمرين 2

Exercice 2 — Fonction de répartition empirique : loi binomiale, biais, convergence, IC

#statistics#empirical-cdf#binomial-distribution#confidence-interval

Deuxième partie : Estimation non-paramétrique.

On suppose que les observations x1,…,xnx_1,\ldots,x_n sont des réalisations de variables aléatoires réelles X1,…,XnX_1,\ldots,X_n indépendantes et de même loi, de fonction de répartition FF, et de densité ff si elle existe.

  1. (2 pts) Donner Fn(x)F_n(x) l'estimateur empirique de la fonction de répartition FF.
  2. (2 pts) Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, nFn(x)nF_n(x) est de loi binomiale B(n,F(x))\mathcal{B}(n,F(x)).
  3. (2 pts) Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, Fn(x)F_n(x) est un estimateur sans biais et convergent en moyenne quadratique de F(x)F(x).
  4. (2 pts) Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, Fn(x)→p.s.F(x)F_n(x)\xrightarrow{p.s.}F(x).
  5. (2 pts) Soit xx fixé. Donner un intervalle de confiance de seuil α\alpha pour F(x)F(x).
◀الحل

1.

Fn(x)=1n∑i=1n1{Xi≤x}.F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{\{X_i\leq x\}}.

2.

Les 1{Xi≤x}\mathbf{1}_{\{X_i\leq x\}} sont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre P(Xi≤x)=F(x)\mathbb{P}(X_i\leq x)=F(x). Leur somme nFn(x)nF_n(x) suit B(n,F(x))\mathcal{B}(n,F(x)).

3.

E(Fn(x))=1n⋅nF(x)=F(x)\mathbb{E}(F_n(x))=\frac{1}{n}\cdot nF(x)=F(x) (sans biais). Var⁡(Fn(x))=F(x)(1−F(x))n→0\operatorname{Var}(F_n(x))=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}\to 0, donc EQM→0\text{EQM}\to 0 : convergent en moyenne quadratique.

4.

Les 1{Xi≤x}\mathbf{1}_{\{X_i\leq x\}} étant i.i.d. et intégrables, la loi forte des grands nombres donne Fn(x)→p.s.F(x)F_n(x)\xrightarrow{p.s.}F(x).

5.

Par le TCL, n(Fn(x)−F(x))Fn(x)(1−Fn(x))→LN(0,1)\frac{\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))}{\sqrt{F_n(x)(1-F_n(x))}}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1), d'où

IC1−α=[Fn(x)±z1−α/2Fn(x)(1−Fn(x))n].IC_{1-\alpha}=\left[F_n(x)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{F_n(x)(1-F_n(x))}{n}}\right].