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مسابقة دكتوراه 2020 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 09

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès en première année Doctorat — Mathématiques, Sujet 2 : Statistique (2019/2020) — Première partie : Estimation paramétrique, Deuxième partie : Estimation non-paramétrique, Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma, Institut des Sciences et Technologies, Département de Mathématiques et Informatique.

التمرين 1

Exercice 1 — Estimation paramétrique : loi de Weibull, maximum de vraisemblance

#statistics#maximum-likelihood#weibull-distribution#unbiased-estimator

On considère la variable aléatoire réelle XX de densité

f(x,θ)={3x2θexp⁡ ⁣(−x3θ)si x>0, θ>00sinon.f(x,\theta)=\begin{cases} \dfrac{3x^2}{\theta}\exp\!\left(-\dfrac{x^3}{\theta}\right) & \text{si } x\gt 0,\ \theta\gt 0 \\\\ 0 & \text{sinon.}\end{cases}

  1. Soit Y=X3θY=\dfrac{X^3}{\theta}. Calculer la loi de YY. En déduire E(Y)\mathbb{E}(Y), Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y), E(X3)\mathbb{E}(X^3) et Var⁡(X3)\operatorname{Var}(X^3).
  2. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance θ^n\widehat{\theta}_n de θ\theta.
  3. θ^n\widehat{\theta}_n est-il sans biais ? Est-il convergent ?
◀الحل

1.

Pour w≥0w\geq 0, avec le changement u=x3u=x^3 :

P(X3≤w)=∫0w1/33x2θe−x3/θdx=∫0w1θe−u/θdu=1−e−w/θ.\mathbb{P}(X^3\leq w)=\int_0^{w^{1/3}}\frac{3x^2}{\theta}e^{-x^3/\theta}dx=\int_0^{w}\frac{1}{\theta}e^{-u/\theta}du=1-e^{-w/\theta}.

Donc X3∼E(1/θ)X^3\sim\mathcal{E}(1/\theta) (moyenne θ\theta) et Y=X3/θ∼E(1)Y=X^3/\theta\sim\mathcal{E}(1).

E(Y)=1,Var⁡(Y)=1,E(X3)=θ,Var⁡(X3)=θ2.\mathbb{E}(Y)=1,\quad \operatorname{Var}(Y)=1,\quad \mathbb{E}(X^3)=\theta,\quad \operatorname{Var}(X^3)=\theta^2.

2.

log⁡L(θ)=const−nlog⁡θ−1θ∑i=1nxi3.\log L(\theta)=\text{const}-n\log\theta-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i^3.

∂log⁡L∂θ=−nθ+1θ2∑i=1nxi3=0.\frac{\partial \log L}{\partial\theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n x_i^3=0.

θ^n=1n∑i=1nXi3.\boxed{\widehat{\theta}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^3.}

3.

E(θ^n)=E(X3)=θ\mathbb{E}(\widehat{\theta}_n)=\mathbb{E}(X^3)=\theta : sans biais.

Var⁡(θ^n)=Var⁡(X3)n=θ2n→n→∞0\operatorname{Var}(\widehat{\theta}_n)=\dfrac{\operatorname{Var}(X^3)}{n}=\dfrac{\theta^2}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0 : sans biais et de variance tendant vers 0, donc convergent (en moyenne quadratique).

التمرين 2

Exercice 2 — Estimation non-paramétrique : fonction de répartition empirique

#statistics#empirical-cdf#binomial-distribution#confidence-interval

On suppose que les observations x1,…,xnx_1,\dots,x_n sont des réalisations de variables aléatoires réelles X1,…,XnX_1,\dots,X_n indépendantes et de même loi, de fonction de répartition FF, et de densité ff si elle existe.

  1. Donner Fn(x)F_n(x), l'estimateur empirique de la fonction de répartition FF.
  2. Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, nFn(x)nF_n(x) est de loi binomiale B(n,F(x))\mathcal{B}(n,F(x)).
  3. Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, Fn(x)F_n(x) est un estimateur sans biais et convergent en moyenne quadratique de F(x)F(x).
  4. Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, Fn(x)→p.s.F(x)F_n(x)\xrightarrow{p.s.}F(x).
  5. Soit xx fixé. Donner un intervalle de confiance de seuil α\alpha pour F(x)F(x).
◀الحل

1.

Fn(x)=1n∑i=1n1{Xi≤x}.F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i\leq x\}}.

2.

Les 1{Xi≤x}\mathbf{1}_{\{X_i\leq x\}} sont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre P(Xi≤x)=F(x)\mathbb{P}(X_i\leq x)=F(x). Leur somme nFn(x)=∑i=1n1{Xi≤x}nF_n(x)=\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{\{X_i\leq x\}} suit donc B(n,F(x))\mathcal{B}(n,F(x)).

3.

E(Fn(x))=1n⋅nF(x)=F(x)\mathbb{E}(F_n(x))=\frac{1}{n}\cdot nF(x)=F(x) : sans biais.

Var⁡(Fn(x))=F(x)(1−F(x))n→0\operatorname{Var}(F_n(x))=\dfrac{F(x)(1-F(x))}{n}\to 0, donc EQM=Var⁡→0\mathrm{EQM}=\operatorname{Var}\to 0 : convergent en moyenne quadratique.

4.

Par la loi forte des grands nombres appliquée aux 1{Xi≤x}\mathbf{1}_{\{X_i\leq x\}} (i.i.d., intégrables, de moyenne F(x)F(x)) :

Fn(x)=1n∑i=1n1{Xi≤x}→p.s.F(x).F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{\{X_i\leq x\}}\xrightarrow{p.s.}F(x).

5.

Par le TCL, n (Fn(x)−F(x))F(x)(1−F(x))→LN(0,1)\dfrac{\sqrt{n}\,(F_n(x)-F(x))}{\sqrt{F(x)(1-F(x))}}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1). Un intervalle de confiance de seuil α\alpha (approché) est

[Fn(x)±z1−α/2Fn(x)(1−Fn(x))n].\boxed{\left[F_n(x)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{F_n(x)(1-F_n(x))}{n}}\right].}