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مسابقة دكتوراه 2025 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours national d'accès à la formation doctorale (Doctorat 3ème cycle), année universitaire 2024-2025, Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma, Épreuve commune : Mathématiques générales, filière Mathématiques appliquées, composée de trois exercices (6, 7 et 7 points).

التمرين 3

Exercice 3 — Sous-espaces vectoriels dans un espace normé : adhérence, intérieur, boule unité

#functional-analysis#normed-spaces#vector-subspace#closure#topology

Soit FF un sous-espace vectoriel d'un R\mathbb{R}-espace vectoriel normé (E,∥⋅∥)(E,\|\cdot\|).

  1. (2 pts) Montrer que F‾\overline{F} (l'adhérence de FF) est aussi un sous-espace vectoriel de EE.
  2. (3 pts) Montrer que si FF est distinct de EE, alors FF est d'intérieur vide.
  3. (2 pts) Déterminer le sous-espace vectoriel de EE engendré par la boule ouverte de centre 00 et de rayon 11.
◀الحل

1. F‾\overline{F} est un sous-espace vectoriel

F‾\overline{F} est non vide car 0∈F⊂F‾0\in F\subset\overline{F}.

Soient x,y∈F‾x,y\in\overline{F} et α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb{R}. Il existe des suites (xn),(yn)(x_n),(y_n) d'éléments de FF telles que xn→xx_n\to x et yn→yy_n\to y. Comme FF est un sous-espace vectoriel, αxn+βyn∈F\alpha x_n+\beta y_n\in F pour tout nn. Or les opérations (somme et produit par un scalaire) sont continues dans un espace normé, donc

αxn+βyn →n→+∞ αx+βy.\alpha x_n+\beta y_n\ \xrightarrow[n\to+\infty]{}\ \alpha x+\beta y.

La limite d'une suite d'éléments de FF appartient à F‾\overline{F}, donc αx+βy∈F‾\alpha x+\beta y\in\overline{F}.

F‾ est un sous-espace vectoriel de E.\boxed{\overline{F}\text{ est un sous-espace vectoriel de }E.}

2. Si F≠EF\ne E, alors FF est d'intérieur vide

Raisonnons par contraposée : supposons que FF soit d'intérieur non vide. Il existe alors x0∈Fx_0\in F et r>0r\gt 0 tels que B(x0,r)⊂FB(x_0,r)\subset F.

Soit z∈Ez\in E, z≠0z\ne 0. Le vecteur x0+r2z∥z∥x_0+\dfrac{r}{2}\dfrac{z}{\|z\|} appartient à B(x0,r)⊂FB(x_0,r)\subset F. Comme x0∈Fx_0\in F et que FF est stable par différence, on a r2z∥z∥∈F\dfrac{r}{2}\dfrac{z}{\|z\|}\in F, puis par multiplication scalaire z∈Fz\in F.

Ainsi E⊂FE\subset F, donc F=EF=E. Par contraposée :

F≠E ⟹ F est d’inteˊrieur vide.\boxed{F\ne E\ \Longrightarrow\ F\text{ est d'intérieur vide}.}

3. Sous-espace engendré par la boule unité ouverte

Soit B=B(0,1)={x∈E:∥x∥<1}B=B(0,1)=\{x\in E:\|x\|\lt 1\} et V=Vect(B)V=\text{Vect}(B).

On a évidemment V⊂EV\subset E. Réciproquement, soit z∈Ez\in E. Si z=0z=0, alors z∈Vz\in V. Si z≠0z\ne 0, le vecteur u=12∥z∥zu=\dfrac{1}{2\|z\|}z vérifie ∥u∥=12<1\|u\|=\tfrac12\lt 1, donc u∈Bu\in B. Comme z=2∥z∥ uz=2\|z\|\,u est un multiple scalaire de uu, on a z∈Vz\in V.

Vect(B(0,1))=E.\boxed{\text{Vect}\big(B(0,1)\big)=E.}