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مسابقة دكتوراه 2017 — Concours national d'accès au Doctorat (Algérie) — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation

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Concours national 2017-2018, Analyse numérique

التمرين 1

Méthode de la corde et ordre de convergence

#méthode de la corde#ordre de convergence

Soit ξ\xi l'unique racine de f(x)=0f(x)=0 sur II, avec f∈C2(I)f\in C^2(I), f′(x)≠0f'(x)\ne0 et f(a)≠0f(a)\ne0. On considère

xn+1=af(xn)−xnf(a)f(xn)−f(a).x_{n+1}=\frac{af(x_n)-x_nf(a)}{f(x_n)-f(a)}.

  1. En supposant que l'algorithme converge, montrer que sa limite est ξ\xi.

  2. Déterminer son ordre de convergence.

◀الحل

Si xn→ℓx_n\to\ell, le passage à la limite donne

ℓ=af(ℓ)−ℓf(a)f(ℓ)−f(a),\ell=\frac{af(\ell)-\ell f(a)}{f(\ell)-f(a)},

donc (ℓ−a)f(ℓ)=0(\ell-a)f(\ell)=0. La limite admissible est ℓ=ξ\ell=\xi.

En écrivant xn+1=Φ(xn)x_{n+1}=\Phi(x_n),

en+1=Φ′(ξ)en+O(en2).e_{n+1}=\Phi'(\xi)e_n+O(e_n^2).

En général Φ′(ξ)≠0\Phi'(\xi)\ne0 et ∣Φ′(ξ)∣<1|\Phi'(\xi)|<1, donc la convergence est linéaire.

التمرين 2

Gram-Schmidt et meilleure approximation trigonométrique

#Gram-Schmidt#projection orthogonale#Fourier

Dans E=C([−π,π])E=C([-\pi,\pi]), muni du produit scalaire

⟨g,h⟩=∫−ππg(x)h(x) dx,\langle g,h\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}g(x)h(x)\,dx,

on considère

F=span⁡{1,cos⁡x,sin⁡x}.F=\operatorname{span}\{1,\cos x,\sin x\}.

  1. Construire une base orthonormée de FF.

  2. Déterminer la meilleure approximation d'une fonction ff dans FF.

  3. Traiter f(x)=2cos⁡2(x/2)f(x)=2\cos^2(x/2).

◀الحل

Les trois fonctions sont orthogonales et

\qquad\|\cos x\|^2=\|\sin x\|^2=\pi.$$ Une base orthonormée est $$h_1=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \qquad h_2=\frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \qquad h_3=\frac{\sin x}{\sqrt\pi}.$$ La meilleure approximation est $$P_Ff=\sum_{i=1}^3\langle f,h_i\rangle h_i.$$ Comme $$2\cos^2(x/2)=1+\cos x,$$ la projection est la fonction elle-même.

التمرين 3

Quadrature des trapèzes pour une intégrale impropre

#trapèzes#erreur numérique#intégrale impropre

On veut approcher

I=∫1∞dx1+x2.I=\int_1^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}.

  1. Choisir β\beta pour que la queue soit au plus 0.20.2.

  2. Donner la borne d'erreur de la règle composite des trapèzes sur [1,β][1,\beta].

  3. Déterminer M2=max⁡[1,β]∣f′′∣M_2=\max_{[1,\beta]}|f''| et le nombre d'intervalles nécessaire.

  4. Comparer à la valeur exacte.

◀الحل

On a

0<∫β∞dx1+x2≤∫β∞dxx2=1β.0<\int_\beta^\infty\frac{dx}{1+x^2}\le\int_\beta^\infty\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{\beta}.

Il suffit donc de prendre β≥5\beta\ge5.

Pour la règle des trapèzes,

∣ET∣≤(β−1)312n2M2,|E_T|\le\frac{(\beta-1)^3}{12n^2}M_2,

où

f′′(x)=6x2−2(1+x2)3.f''(x)=\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}.

Il suffit donc de choisir

n≥(β−1)3M212ε.n\ge\sqrt{\frac{(\beta-1)^3M_2}{12\varepsilon}}.

La valeur exacte est

I=π4.I=\frac{\pi}{4}.