مسابقة دكتوراه 2023 — Concours national d'accès au Doctorat (Algérie)

التمرين 1

Exercice 1 (Concours 2023) — Série $\sum r^n\cos(nx)/n$ : convergence et somme

#séries de fonctions#séries entières#logarithme complexe#séries de Fourier

Pour $r\in ]0,1[$ et $x\in\mathbb{R}$ , on considère la série de fonctions $S(r,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{r^n \cos(nx)}{n}.$

Montrer que la série converge normalement sur $\mathbb{R}$ pour tout $r\in ]0,1[$ fixé.
Montrer que $S(r,x) = -\dfrac{1}{2}\ln(1 - 2r\cos x + r^2)$ .
En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(nx)}{n}$ pour $x\in ]0,2\pi[$ (convergence en $r\to 1^-$ ).
Application : calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(n\pi/3)}{n}$ .

Résultat classique : $\sum_{n\ge 1}z^n/n = -\ln(1-z)$ pour $|z|<1$ (et $z\ne 1$ sur le cercle). La partie réelle donne cette somme trigonométrique. Formule utilisée dans l'étude des séries de Fourier (noyau de Poisson, séries d'Abel-Poisson).

◀الحل

CVN : $|r^n\cos(nx)/n|\le r^n/n\le r^n$ . Comme $\sum r^n$ converge (géométrique, $r\in ]0,1[$ ), la série converge normalement sur $\mathbb{R}$ .
Somme : posons $z = re^{ix}$ , $|z|=r<1$ . On a $-\ln(1-z) = \sum_{n\ge 1} z^n/n$ (série entière du log). Prendre la partie réelle : $\Re(-\ln(1-z)) = \sum r^n\cos(nx)/n = S(r,x)$ .

Or $1-z = 1 - r\cos x - ir\sin x$ , donc $|1-z|^2 = (1-r\cos x)^2 + r^2\sin^2 x = 1 - 2r\cos x + r^2$ . Et $\Re(-\ln(1-z)) = -\Re(\ln(1-z)) = -\ln|1-z| = -\dfrac{1}{2}\ln(1-2r\cos x + r^2)$ .

Donc $S(r,x) = -\dfrac{1}{2}\ln(1-2r\cos x + r^2)$ .

Limite $r\to 1^-$ : pour $x\in ]0,2\pi[$ , $x\ne 0\pmod{2\pi}$ , donc $1-2\cos x+1 = 2(1-\cos x) = 4\sin^2(x/2)>0$ . Par convergence d'Abel (ou par la convergence de la série $\sum \cos(nx)/n$ pour $x\ne 2k\pi$ , qui est justifiée par transformation d'Abel), on obtient $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\cos(nx)}{n} = -\dfrac{1}{2}\ln(2-2\cos x) = -\ln(2|\sin(x/2)|).$
Application $x=\pi/3$ : $\sin(\pi/6) = 1/2$ , donc $-\ln(2\cdot 1/2) = -\ln 1 = 0$ . Donc $\sum_{n=1}^\infty \cos(n\pi/3)/n = 0$ . (Vérification directe : la suite $\cos(n\pi/3)$ est $6$ -périodique de valeurs $1/2, -1/2, -1, -1/2, 1/2, 1$ ; on peut regrouper les termes par périodes de 6 et vérifier la sommation par transformation d'Abel.)

التمرين 2

Exercice 2 (Concours 2023) — Intégrales $I$ et $J$ avec $I=J$

#intégrales#changement de variable#symétrie

Soient $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx$ et $J = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,dx$ .

Montrer que $I = J$ par un changement de variable.
Calculer $I+J$ . En déduire les valeurs de $I$ et $J$ .

Technique classique de symétrisation par changement de variable $u=\pi/2-x$ (ou plus généralement $u=a+b-x$ pour une intégrale sur $[a,b]$ ). Évite le calcul explicite d'une primitive compliquée.

◀الحل

Changement $u = \pi/2 - x$ dans $I$ : $du = -dx$ , quand $x=0$ , $u=\pi/2$ ; $x=\pi/2$ , $u=0$ . $\sin x = \cos u$ , $\cos x = \sin u$ . Donc $I = \int_{\pi/2}^0 \dfrac{\cos u}{\cos u+\sin u}(-du) = \int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos u}{\cos u+\sin u}du = J.$
Somme : $I+J = \int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx = \int_0^{\pi/2}dx = \pi/2$ .

Donc $I = J = \pi/4$ .

التمرين 3

Exercice 3 (Concours 2023) — Polynômes de Chebyshev $T_n$

#polynômes de Chebyshev#trigonométrie#récurrence#orthogonalité

Les polynômes de Chebyshev de première espèce sont définis par $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ pour $\theta\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$ .

Calculer $T_0, T_1, T_2, T_3$ explicitement.
Montrer la relation de récurrence : $T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$ pour $n\ge 1$ .
Déterminer les $n$ racines de $T_n$ dans $[-1,1]$ .
Montrer que la famille $(T_n)_{n\ge 0}$ est orthogonale pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1}\dfrac{f(x)g(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx$ .

Les polynômes de Chebyshev jouent un rôle crucial en analyse numérique : leurs racines sont les nœuds d'interpolation optimaux (minimisant l'erreur d'interpolation), et $T_n$ est le polynôme de degré $n$ avec coefficient dominant $2^{n-1}$ minimisant $\sup_{[-1,1]}|P|$ . Utilisés en compression, approximation optimale, méthodes spectrales pour EDP.

◀الحل

$T_0(x)=1$ , $T_1(x)=x$ , $T_2(x)=2x^2-1$ , $T_3(x)=4x^3-3x$ .

(Déduits de $\cos(0)=1$ , $\cos\theta$ , $\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$ , $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ .)

Récurrence : $\cos((n+1)\theta) + \cos((n-1)\theta) = 2\cos\theta\cos(n\theta)$ (formule de Simpson). En posant $x=\cos\theta$ : $T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2xT_n(x)$ , soit $T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$ .
Racines : $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)=0\Leftrightarrow n\theta = \pi/2 + k\pi\Leftrightarrow \theta = (2k+1)\pi/(2n)$ , $k=0,\ldots,n-1$ . Les racines sont donc $x_k = \cos\left(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\right)$ , $k=0,\ldots,n-1$ . Toutes dans $]-1,1[$ (car $\theta\in ]0,\pi[$ ).
Orthogonalité : changement $x=\cos\theta$ , $dx = -\sin\theta\,d\theta$ , $\sqrt{1-x^2}=\sin\theta$ . Donc $\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = -d\theta$ .

$\langle T_m, T_n\rangle = \int_{-1}^1\dfrac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int_\pi^0\cos(m\theta)\cos(n\theta)(-d\theta) = \int_0^\pi\cos(m\theta)\cos(n\theta)d\theta$ .

Or $\int_0^\pi\cos(m\theta)\cos(n\theta)d\theta = 0$ si $m\ne n$ (orthogonalité des cosinus sur $[0,\pi]$ ), $\pi/2$ si $m=n\ne 0$ , $\pi$ si $m=n=0$ .