مسابقة دكتوراه 2023 — Concours national d'accès au Doctorat (Algérie)

التمرين 1

Exercice 1 — Série de fonctions $\sum r^n\cos(nx)/n$

#séries de fonctions#convergence normale#somme d'une série#identités trigonométriques

Soit $r\in]0,1[$ et la série de fonctions $f_r(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{r^n\cos(nx)}{n}$ .

Montrer que la série converge normalement sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que $f_r$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $f_r'(x)$ .
En déduire une expression fermée de $f_r(x)$ en termes de $r$ et $x$ .
Étudier la limite $\lim_{r\to 1^-}f_r(x)$ pour $x\in]0,2\pi[$ .

Série de Fourier classique. La somme fermée $-\dfrac{1}{2}\ln(1-2r\cos x+r^2)$ est un noyau de Poisson. Le passage à la limite $r\to 1^-$ donne le développement de Fourier de $-\ln|2\sin(x/2)|$ (une fonction $L^1$ mais non bornée).

◀الحل

CVN : $|r^n\cos(nx)/n|\le r^n/n\le r^n$ , et $\sum r^n$ converge (géométrique, $r<1$ ). Donc CVN sur $\mathbb{R}$ .
$C^\infty$ : les dérivées successives $f_r^{(k)}(x) = \sum n^{k-1} r^n\cdot(\pm\sin/\cos)(nx)$ (à des facteurs près) convergent normalement car $n^{k-1}r^n\to 0$ et $\sum n^{k-1}r^n$ converge (critère de d'Alembert). Donc $f_r\in C^\infty$ .

$f_r'(x) = -\sum_{n=1}^\infty r^n\sin(nx)$ . Or $\sum_{n=1}^\infty r^n e^{inx} = \dfrac{re^{ix}}{1-re^{ix}}$ . Partie imaginaire : $\sum r^n\sin(nx) = \mathrm{Im}\dfrac{re^{ix}}{1-re^{ix}} = \dfrac{r\sin x}{1-2r\cos x+r^2}$ . Donc $f_r'(x) = -\dfrac{r\sin x}{1-2r\cos x+r^2}.$

Intégrons : posons $u = 1-2r\cos x+r^2$ , $du = 2r\sin x\,dx$ . Alors $f_r'(x)dx = -\dfrac{du}{2u}$ , donc $f_r(x) = -\dfrac{1}{2}\ln|1-2r\cos x+r^2| + C$ .

Constante : $f_r(0) = \sum_{n\ge 1}r^n/n = -\ln(1-r)$ . Or $1-2r\cdot 1+r^2 = (1-r)^2$ , donc $-\dfrac{1}{2}\ln(1-r)^2 = -\ln|1-r| = -\ln(1-r)$ (car $r<1$ ). Constant $C=0$ . Ainsi $\boxed{f_r(x) = -\dfrac{1}{2}\ln(1-2r\cos x+r^2).}$

Limite $r\to 1^-$ : $1-2\cos x+1 = 2(1-\cos x) = 4\sin^2(x/2)$ . Donc pour $x\in]0,2\pi[$ (sin $(x/2)\ne 0$ ) : $\lim_{r\to 1^-}f_r(x) = -\dfrac{1}{2}\ln(4\sin^2(x/2)) = -\ln(2|\sin(x/2)|) = -\ln 2 - \ln|\sin(x/2)|.$

Cette limite diverge quand $x\to 0^+$ ou $x\to 2\pi^-$ (car $\sin(x/2)\to 0$ ).

التمرين 2

Exercice 2 — Intégrales : $\int_0^\infty \dfrac{\sin(ax)}{x}dx = \dfrac{\pi}{2}$ ($a>0$)

#intégrales impropres#intégrale de Dirichlet#transformée de Laplace

Soit $a>0$ . On considère l'intégrale de Dirichlet $I(a) = \int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(ax)}{x}\,dx.$

Montrer que l'intégrale converge (intégrale impropre).
Considérer $F(t,a) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-tx}\dfrac{\sin(ax)}{x}dx$ pour $t\ge 0$ . a) Justifier l'existence et calculer $\partial_a F(t,a)$ . b) En déduire $F(t,a) = \arctan(a/t)$ pour $t>0$ .
Faire tendre $t\to 0^+$ pour obtenir $I(a) = \pi/2$ .

Intégrale de Dirichlet, valeur classique. Astuce : introduire un paramètre $t$ pour rendre l'intégrale absolument convergente (régularisation exponentielle), calculer, puis passer à la limite. Généralisable à la transformée de Laplace-Fourier.

◀الحل

Convergence : en $0$ , $\sin(ax)/x\to a$ (limite finie), pas de problème. En $+\infty$ , par intégration par parties : $\int_1^M \dfrac{\sin(ax)}{x}dx = \big[-\dfrac{\cos(ax)}{ax}\big]_1^M - \int_1^M \dfrac{\cos(ax)}{ax^2}dx$ . Le premier terme tend vers une constante quand $M\to\infty$ , le second converge (majoré par $\int 1/x^2$ ). Donc $I(a)$ converge (mais pas absolument).

2a. Existence : pour $t>0$ , $|e^{-tx}\sin(ax)/x|\le e^{-tx}\cdot |ax|/x = a e^{-tx}\cdot\mathbf{1}_{[0,1]} + e^{-tx}/x\cdot\mathbf{1}_{[1,\infty[}$ , intégrable. Calcul de $\partial_a F$ : par dérivation sous l'intégrale (domination par $e^{-tx}$ ), $\partial_a F(t,a) = \int_0^\infty e^{-tx}\cos(ax)\,dx = \mathrm{Re}\int_0^\infty e^{(-t+ia)x}dx = \mathrm{Re}\dfrac{1}{t-ia} = \dfrac{t}{t^2+a^2}.$

2b. Intégrer par rapport à $a$ : $F(t,a) = \int_0^a \dfrac{t}{t^2+s^2}ds + F(t,0) = \arctan(a/t) + 0 = \arctan(a/t)$ (car $F(t,0)=0$ ).

Limite $t\to 0^+$ : $F(t,a) = \arctan(a/t)\to \arctan(+\infty) = \pi/2$ (car $a/t\to+\infty$ pour $a>0$ ). Reste à justifier que $\lim_{t\to 0}F(t,a) = I(a)$ : c'est le lemme d'Abel pour la convergence de Laplace vers Fourier, ou plus explicitement, on montre que la convergence est uniforme via une intégration par parties et le critère d'Abel-Dirichlet.

Donc $I(a) = \pi/2$ pour tout $a>0$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Polynômes de Chebyshev : définition et propriétés

#polynômes de Chebyshev#récurrence#orthogonalité#zéros

Les polynômes de Chebyshev de première espèce $T_n$ sont définis par $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ pour $\theta\in\mathbb{R}$ , $n\in\mathbb{N}$ .

Montrer que $T_n$ est bien un polynôme de degré $n$ , et donner $T_0,T_1,T_2,T_3$ .
Établir la relation de récurrence $T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$ .
Déterminer les zéros de $T_n$ dans $[-1,1]$ .
Montrer que $(T_n)$ est orthogonal pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 \dfrac{f(x)g(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ , et calculer $\|T_n\|^2$ .

Chebyshev de première espèce : famille orthogonale fondamentale, équioscillent (extrema $\pm 1$ alternés), minimisent la norme sup sur $[-1,1]$ parmi les polynômes de même degré et coefficient dominant (problème minimax). Les nœuds de Chebyshev sont optimaux pour l'interpolation.

◀الحل

Polynomialité : par récurrence via la formule $\cos((n+1)\theta) + \cos((n-1)\theta) = 2\cos\theta\cos(n\theta)$ . Donc $T_{n+1}(x) = 2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$ , avec $T_0(x)=1, T_1(x)=x$ . Par récurrence, $T_n$ est un polynôme de degré $n$ (coefficient dominant $2^{n-1}$ pour $n\ge 1$ ).

$T_0=1$ , $T_1=x$ , $T_2=2x^2-1$ , $T_3=4x^3-3x$ .

Récurrence : déjà établie via l'identité trigonométrique.
Zéros : $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)=0\Leftrightarrow n\theta = \pi/2+k\pi\Leftrightarrow \theta = (2k+1)\pi/(2n)$ , $k=0,1,\ldots,n-1$ . Les $n$ zéros sont $x_k = \cos\dfrac{(2k+1)\pi}{2n},\quad k=0,1,\ldots,n-1.$ Tous dans $]-1,1[$ (nœuds de Chebyshev).
Orthogonalité : changement de variable $x=\cos\theta$ , $dx = -\sin\theta\,d\theta = -\sqrt{1-x^2}d\theta$ . Alors $\langle T_n, T_m\rangle = \int_{-1}^1 \dfrac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int_0^\pi \cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta.$ Or $\int_0^\pi\cos(n\theta)\cos(m\theta)d\theta = 0$ si $n\ne m$ ; $= \pi/2$ si $n=m\ge 1$ ; $=\pi$ si $n=m=0$ .

Donc orthogonalité et $\|T_0\|^2 = \pi$ , $\|T_n\|^2 = \pi/2$ pour $n\ge 1$ .