مسابقة دكتوراه 2023 — Concours national d'accès au Doctorat (Algérie)

التمرين 1

Exercice 1 (Concours 2023) — Série de Fourier $\sum r^n\cos(nx)/n$ et intégrale associée

#séries de fonctions#séries de Fourier#intégrales#logarithme

Pour $r\in]0,1[$ fixé, on définit $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{r^n \cos(nx)}{n},\quad x\in\mathbb{R}.$

Montrer que la série converge normalement sur $\mathbb{R}$ et que $f$ est continue et $2\pi$ -périodique.
Calculer explicitement $f(x)$ en fonction de $r$ et $x$ .

(Indication : utiliser la série $\displaystyle\sum_{n\ge 1}\dfrac{z^n}{n}=-\ln(1-z)$ pour $|z|<1$ .)

En déduire la valeur des intégrales $I = \int_0^\pi \ln(1-2r\cos x + r^2)\,dx,\qquad J = \int_0^\pi \ln(1+2r\cos x + r^2)\,dx.$

Résultat classique : $\int_0^\pi \ln(1-2r\cos x+r^2)dx = 0$ pour $|r|<1$ , et $= 2\pi\ln|r|$ pour $|r|>1$ (formule de Jensen sur le cercle unité). Lien direct avec $\ln|1-re^{ix}|$ et la théorie du potentiel logarithmique.

◀الحل

Convergence normale : $|r^n\cos(nx)/n|\le r^n/n\le r^n$ , et $\sum r^n$ converge (géométrique, $r<1$ ). CVN sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ continue. Chaque terme est $2\pi$ -périodique, donc $f$ aussi.
Calcul explicite : posons $z=re^{ix}$ , $|z|=r<1$ . Alors $\sum_{n\ge 1}z^n/n=-\ln(1-z)$ . Or $\sum_{n\ge 1}\dfrac{r^n\cos(nx)}{n} = \mathrm{Re}\sum_{n\ge 1}\dfrac{(re^{ix})^n}{n} = \mathrm{Re}(-\ln(1-re^{ix})) = -\ln|1-re^{ix}|$ .

Or $|1-re^{ix}|^2 = (1-r\cos x)^2+(r\sin x)^2 = 1-2r\cos x+r^2$ . Donc $f(x) = -\dfrac{1}{2}\ln(1-2r\cos x + r^2).$

Intégrale $I$ : $I = -2\int_0^\pi f(x)dx = -2\sum_{n\ge 1}\dfrac{r^n}{n}\int_0^\pi\cos(nx)dx = 0$ (car $\int_0^\pi\cos(nx)dx = [\sin(nx)/n]_0^\pi=0$ pour tout $n\ge 1$ ).

Donc $I = 0$ .

Intégrale $J$ : par le changement $x\mapsto \pi-x$ , $\cos(\pi-x)=-\cos x$ , donc $J = \int_0^\pi \ln(1+2r\cos x+r^2)dx = \int_0^\pi \ln(1-2r\cos u+r^2)du = I = 0$ .

Donc $J = 0$ .

التمرين 2

Exercice 2 (Concours 2023) — Polynômes de Chebyshev : définition et propriétés

#polynômes de Chebyshev#trigonométrie#récurrence

Les polynômes de Chebyshev de première espèce $T_n$ sont définis par $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ pour $\theta\in\mathbb{R}$ , $n\in\mathbb{N}$ .

Montrer que $T_n$ est bien un polynôme de degré $n$ à coefficients entiers.
Établir la relation de récurrence $T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x)$ pour $n\ge 1$ , avec $T_0=1$ et $T_1(x)=x$ .
Donner les valeurs de $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ , $T_n(0)$ pour tout $n$ .
Prouver l'orthogonalité : $\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = 0$ si $n\ne m$ .
Calculer $\int_{-1}^1 \dfrac{T_n(x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$ pour tout $n\ge 0$ .

Chebyshev $T_n$ : base orthogonale pour le produit scalaire de poids $1/\sqrt{1-x^2}$ sur $[-1,1]$ . Utilisé en interpolation optimale (nœuds de Chebyshev) et en approximation uniforme (théorème de Chebyshev-Weierstrass). Les $T_n$ minimisent le sup-norme parmi les polynômes unitaires de degré $n$ .

◀الحل

Par récurrence sur $n$ via la formule d'addition $\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)=2\cos\theta\cos(n\theta)$ , on obtient $T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x)=2x\,T_n(x)$ . En partant de $T_0=1$ , $T_1=x$ (polynômes à coeff entiers, degrés 0 et 1), la récurrence donne des polynômes à coefficients entiers de degré $n$ .
Directement de l'étape 1 : $T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)$ .
$T_n(1) = \cos(n\cdot 0) = 1$ . $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$ . $T_n(0) = \cos(n\pi/2)$ : vaut $1$ si $n\equiv 0[4]$ , $0$ si $n$ impair, $-1$ si $n\equiv 2[4]$ .
Orthogonalité : changement de variable $x=\cos\theta$ , $dx=-\sin\theta d\theta$ , $\sqrt{1-x^2}=\sin\theta$ . Donc $\int_{-1}^{1}\dfrac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int_0^\pi \cos(n\theta)\cos(m\theta)d\theta$ .

Si $n\ne m$ : $\int_0^\pi \cos(n\theta)\cos(m\theta)d\theta = \dfrac{1}{2}\int_0^\pi[\cos((n-m)\theta)+\cos((n+m)\theta)]d\theta = 0$ .

Si $n=m\ne 0$ : $\int_0^\pi\cos^2(n\theta)d\theta = \pi/2$ . Si $n=m=0$ : $\int_0^\pi 1\,d\theta = \pi$ . Donc $\int_{-1}^1 \dfrac{T_n(x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx = \begin{cases}\pi & n=0\\ \pi/2 & n\ge 1.\end{cases}$

التمرين 3

Exercice 3 (Concours 2023) — Espaces $L^p$ et inégalité de Hölder

#espaces $L^p$#inégalité de Hölder#inégalité de Minkowski#intégration

Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré et $1\le p,q\le\infty$ avec $1/p+1/q=1$ .

Énoncer et démontrer l'inégalité de Hölder.
Énoncer et démontrer l'inégalité de Minkowski.
Application : soit $f\in L^p(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ avec $1\le p<q\le\infty$ et $\mu(\Omega)<\infty$ . Montrer que $f\in L^r(\Omega)$ pour tout $r\in[p,q]$ .

Hölder et Minkowski sont les deux inégalités piliers de la théorie des espaces $L^p$ . L'inégalité d'interpolation $\|f\|_r\le \|f\|_p^\alpha\|f\|_q^{1-\alpha}$ (log-convexité en $1/r$ ) montre que $r\mapsto \log\|f\|_r$ est convexe : les espaces $L^r$ pour $r$ entre $p$ et $q$ sont «plus faciles» à contrôler.

◀الحل

Hölder : Pour $f\in L^p, g\in L^q$ avec $1/p+1/q=1$ ( $1<p,q<\infty$ ) : $\int|fg|d\mu \le \|f\|_p\|g\|_q.$

Preuve : par l'inégalité de Young $ab\le a^p/p+b^q/q$ pour $a,b\ge 0$ . Appliquer avec $a=|f|/\|f\|_p$ et $b=|g|/\|g\|_q$ puis intégrer.

Cas $p=1,q=\infty$ : $\int|fg|\le \|g\|_\infty\int|f|=\|f\|_1\|g\|_\infty$ .

Minkowski : Pour $f,g\in L^p$ , $1\le p\le\infty$ : $\|f+g\|_p \le \|f\|_p+\|g\|_p.$

Preuve (cas $1<p<\infty$ ) : $|f+g|^p \le |f+g|^{p-1}(|f|+|g|)$ . Intégrer et appliquer Hölder à chaque terme avec exposants $q=p/(p-1)$ (conjugué) : $\int|f+g|^{p-1}|f|\le \|(f+g)^{p-1}\|_q\|f\|_p = \|f+g\|_p^{p-1}\|f\|_p$ . Idem pour $g$ . Sommer et diviser par $\|f+g\|_p^{p-1}$ .

Application : soit $r\in[p,q]$ . On écrit $r = \alpha p + (1-\alpha)q$ avec $\alpha\in[0,1]$ ( $\alpha=(q-r)/(q-p)$ ). Par Hölder (log-convexité de $\|\cdot\|_r$ ) : $\|f\|_r \le \|f\|_p^\alpha \|f\|_q^{1-\alpha}$ (inégalité d'interpolation).

Alternative directe : Si $q=\infty$ : $\int|f|^r = \int|f|^p|f|^{r-p}\le \|f\|_\infty^{r-p}\int|f|^p = \|f\|_\infty^{r-p}\|f\|_p^p<\infty$ .

Si $q<\infty$ : on écrit $|f|^r = |f|^{p\alpha}\cdot|f|^{q(1-\alpha)}$ , applique Hölder avec exposants $1/\alpha, 1/(1-\alpha)$ : $\int|f|^r \le (\int|f|^p)^\alpha(\int|f|^q)^{1-\alpha}<\infty$ .