مسابقة دكتوراه 2017 — École Nationale Supérieure de Statistique et d'Économie Appliquée (ENSSEA)

التمرين 1

Exercice 1 — Statistique mathématique : estimation, test UPP et loi Gamma

#mathematical-statistics#exponential-family#maximum-likelihood#sufficient-statistics#hypothesis-testing#gamma-distribution#confidence-interval

Soit une variable aléatoire $X$ de densité :

$f(x, \theta) = \left(\frac{1}{\theta} - 1\right) \exp\left\{-\left(\frac{1}{\theta} - 1\right)x\right\} \mathbb{1}_{\{x \gt 0\}}$

où $\theta \in ]0, 1[$ un paramètre inconnu. On considère un $n$ -échantillon $(X_1, \cdots, X_n)$ de $X$ .

Partie I (3,5 pts)

Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$ .
Trouver un estimateur pour le paramètre $\theta$ par la méthode des moments. Étudier la convergence de cet estimateur.
Donner une statistique exhaustive pour $\theta$ .

Partie II (11,5 pts)

Déterminer la fonction de répartition de $X$ . Calculer $P[X \geq 1]$ , cette probabilité est notée $p$ .
Donner la loi de la variable aléatoire $Y = \mathbb{1}_{\{X \geq 1\}}$ .

Sur la base du $n$ -échantillon $(X_1, \cdots, X_n)$ , on a le $n$ -échantillon $(Y_1, \cdots, Y_n)$ avec $Y_i = \mathbb{1}_{\{X_i \geq 1\}}$ pour $i = 1, \ldots, n$ . On note $\bar{Y}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i$ .

Calculer l'espérance et la variance de $\bar{Y}_n$ (les exprimer en fonction du paramètre $p$ ).
Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $p$ . On note cet estimateur $\hat{p}_n$ .
$\hat{p}_n$ est-il sans biais ? convergent ? efficace ? exhaustif ?
Déterminer un intervalle de confiance asymptotique pour $p$ de niveau $1-\alpha$ , avec $\alpha \in ]0, 1[$ connu.
Déduire, à partir des questions 1 et 4 de la partie II, que l'estimateur du maximum de vraisemblance pour $\theta$ est $\hat{\theta}_n = \frac{1}{1 - \log(\bar{Y}_n)}$ . Montrer que $\hat{\theta}_n$ converge presque-sûrement vers $\theta$ .

On considère un nouveau paramètre $\mu = p^2$ .

Quel est l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\mu$ . On note cet estimateur $\hat{\mu}_n$ . Justifier sa convergence presque-sûre vers $\mu$ .
Montrer que $\hat{\mu}_n$ est biaisé mais qu'il est asymptotiquement sans biais.

Partie III (5 pts)

On rappelle la définition des lois de type Gamma. La densité d'une loi $\Gamma(s, \lambda)$ est donnée par :

$g(x) = \frac{\lambda^s}{\Gamma(s)} \exp\{-\lambda x\} x^{s-1} \mathbb{1}_{\{x \geq 0\}}$

avec $\lambda, s \gt 0$ , $\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1}\exp\{-x\}dx$ et $\Gamma(1) = 1$ . De plus, la fonction caractéristique d'une loi $\Gamma(s, \lambda)$ s'écrit :

$\phi(t) = \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-s}, \quad t \in \mathbb{R}$

Montrer que la loi de la variable aléatoire $X$ est une Gamma (préciser ses paramètres).
Montrer que la loi de $Z_n = \sum_{i=1}^{n} X_i$ est aussi une Gamma. Préciser ses paramètres.
On suppose la taille de l'échantillon $n$ fixée et on voudrait tester l'hypothèse $H_0: \theta = \theta_0$ contre $H_1: \theta \gt \theta_0$ , pour $\theta_0 \gt 0$ (connu). a. Montrer que pour tout seuil $\alpha \in ]0, 1[$ fixé, il existe un test uniformément plus puissant pour le problème ci-dessus. b. Construire ce test et expliciter sa région critique. c. Écrire la fonction puissance de ce test.

◀الحل

Partie I

1.

$X \sim \mathcal{E}(1/\theta - 1)$ . Donc $E(X) = \frac{\theta}{1-\theta}$ et $V(X) = \frac{\theta^2}{(1-\theta)^2}$ .

2.

L'estimateur des moments satisfait $\bar{X}_n = \frac{\theta_n^*}{1-\theta_n^*}$ , d'où $\theta_n^* = \frac{\bar{X}_n}{1+\bar{X}_n}$ . Par la loi des grands nombres, $\theta_n^* \xrightarrow{p.s.} \theta$ .

3.

Par le théorème de factorisation, $T(X_1,\ldots,X_n) = \sum X_i$ est une statistique exhaustive pour $\theta$ .

Partie II

1.

$F(x) = 1 - e^{-(1/\theta-1)x}$ pour $x \gt 0$ . $p = P[X\geq 1] = e^{-(1/\theta-1)} = e^{1-1/\theta}$ .

2.

$Y \sim \text{Bernoulli}(p)$ .

3.

$E(\bar{Y}_n) = p$ , $V(\bar{Y}_n) = \frac{p(1-p)}{n}$ .

4.

L'EMV est $\hat{p}_n = \bar{Y}_n$ .

5.

Sans biais: oui ( $E(\hat{p}_n)=p$ ). Convergent: oui ( $V \to 0$ ). Efficace: oui ( $V(\hat{p}_n) = B_F = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{1}{nI(p)}$ ). Exhaustif: oui (par factorisation).

6.

IC: $\left[\hat{p}_n - u_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_n(1-\hat{p}_n)}{n}}, \hat{p}_n + u_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_n(1-\hat{p}_n)}{n}}\right]$ .

7.

$p = e^{1-1/\theta} \Rightarrow \theta = \frac{1}{1-\log p}$ . Par invariance de l'EMV: $\hat{\theta}_n = \frac{1}{1-\log \bar{Y}_n}$ . Par la LGN, $\bar{Y}_n \xrightarrow{p.s.} p$ , donc $\hat{\theta}_n \xrightarrow{p.s.} \theta$ .

8.

$\hat{\mu}_n = \hat{p}_n^2 = \bar{Y}_n^2$ . Par invariance de l'EMV et continuité: $\hat{\mu}_n \xrightarrow{p.s.} p^2 = \mu$ .

9.

$E(\hat{\mu}_n) = E(\bar{Y}_n^2) = V(\bar{Y}_n) + [E(\bar{Y}_n)]^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \neq \mu$ . Donc biaisé. Mais $\lim_{n\to\infty} E(\hat{\mu}_n) = p^2 = \mu$ : asymptotiquement sans biais.

Partie III

1.

$f(x,\theta) = (1/\theta-1)e^{-(1/\theta-1)x}\mathbb{1}_{x\gt 0} = \frac{\lambda^1}{\Gamma(1)}e^{-\lambda x}x^0\mathbb{1}_{x\geq 0}$ avec $\lambda = 1/\theta-1$ . Donc $X \sim \Gamma(1, 1/\theta-1)$ .

2.

Par la fonction caractéristique: $\phi_{Z_n}(t) = (1-it/(1/\theta-1))^{-n}$ , donc $Z_n \sim \Gamma(n, 1/\theta-1)$ .

3.

a.

La famille exponentielle avec rapport de vraisemblance monotone croissant en $T = \sum X_i$ garantit l'existence d'un test UPP par le théorème de Lehmann.

b.

Région critique: rejeter $H_0$ si $\sum X_i \gt C$ où $C = \frac{u}{2(1/\theta_0-1)}$ , $u$ étant le quantile $1-\alpha$ d'une $\chi^2_{2n}$ .

c.

Puissance: $\pi(\theta) = P\left[\chi^2_{2n} \gt \frac{\theta_0(1-\theta)}{\theta(1-\theta_0)} u\right]$ pour $\theta \gt \theta_0$ .