مسابقة دكتوراه 2025 — École Nationale Supérieure de Statistique et d'Économie Appliquée (ENSSEA)

التمرين 1

Exercice 1 — Loterie : loi de probabilité et jeu équitable

#probability#expected-value#discrete-distribution#fair-game

(08 pts) Une loterie organisée par une association sportive est constituée d'un ensemble de billets numérotés de 1 à 2000. Un des billets rapporte un lot de 5000 DA, deux billets un lot 1500 DA et cinq billets un lot de 1000 DA. Le prix du billet est de 10 DA. On achète un billet au hasard. Soit $X$ le gain procuré par le billet.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Déterminer l'espérance de $X$ . Qu'en concluez-vous ?
L'association décide de limiter le nombre de billets à un nombre $x$ , avec $x$ compris entre 1 et 2000, pour que le jeu devienne équitable. Calculer $x$ .

◀الحل

1.

$X$ prend les valeurs: $5000-10=4990$ (prob $1/2000$ ), $1500-10=1490$ (prob $2/2000$ ), $1000-10=990$ (prob $5/2000$ ), $-10$ (prob $1992/2000$ ).

2.

$E(X) = \frac{4990+2\times 1490+5\times 990-1992\times 10}{2000} = \frac{4990+2980+4950-19920}{2000} = \frac{-7000}{2000} = -3{,}5$ DA. Le jeu est défavorable.

3.

Pour un jeu équitable: $E(X)=0$ . On résout $4990+2980+4950-(x-8)\times 10 = 0$ , soit $x = 1300$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Loi géométrique : EMV et intervalle de confiance

#geometric-distribution#maximum-likelihood#confidence-interval#estimation

(12 pts) Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ de loi de probabilité :

$P(X = x; p) = p(1-p)^{x-1}, \quad x \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \lt p \lt 1 \quad \text{(loi géométrique de paramètre } p\text{)}$

On admet que $E(X) = \frac{1}{p}$ et $V(X) = \frac{1-p}{p^2}$ . Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un $n$ -échantillon de $X$ .

Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance $\hat{p}$ de $p$ .
Donner la loi asymptotique de $\hat{p}$ .
Construire un intervalle de confiance asymptotique pour $p$ de niveau de confiance $1-\alpha$ .

Une société de transport en commun par bus veut estimer le nombre de passagers ne validant pas leur titre de transport sur une ligne de bus déterminée. Elle dispose pour cela, pour un jour de semaine moyen, du nombre $n_0$ de tickets achetés sur la ligne et des résultats de l'enquête suivante : à chacun des arrêts de bus de la ligne, des contrôleurs comptent le nombre de passagers sortant des bus et ayant validé leur ticket jusqu'à la sortie du premier fraudeur inclus.

Le tableau ci-dessous regroupe les nombres observés jusqu'au premier fraudeur inclus :

44, 59, 24, 10, 11, 20, 67, 18, 07, 38, 37, 19, 90, 02, 12, 35, 26, 57, 28, 21, 02, 04, 05, 07, 34, 15, 150, 02, 03, 10, 09, 12

Estimer la probabilité de fraude et donner un intervalle de confiance asymptotique de niveau 95% pour cette probabilité.
Estimer le nombre de fraudeurs $n_f$ si $n_0 = 2000$ .

◀الحل

1.

La vraisemblance est $L(p) = p^n(1-p)^{\sum x_i - n}$ . La log-vraisemblance donne $\hat{p} = \frac{n}{\sum X_i} = \frac{1}{\bar{X}}$ .

2.

Par le TCL: $\sqrt{n}(\hat{p}-p) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, p^2(1-p))$ .

3.

IC: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}^2(1-\hat{p})}{n}}$ .

4.

$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{32} \approx 27{,}4$ . $\hat{p} = 1/27{,}4 \approx 0{,}0365$ . IC à 95%: environ $[0{,}024; 0{,}049]$ .

5.

$n_f = n_0 \times \hat{p} \approx 2000 \times 0{,}0365 \approx 73$ fraudeurs.