مسابقة دكتوراه 2023 — École Normale Supérieure Cheikh Mohamed El Bachir El Ibrahimi - Kouba (ENS Kouba) — الموضوع 01

1. Définition et continuité

Soit $\rho\in\,]0,1[$ tel que $|r|\le\rho$. Comme $\Big|\dfrac{r^n\cos(nx)}{n}\Big|\le\rho^n$ et $\sum\rho^n<\infty$, la série converge normalement sur $\mathbb{R}$ (pour $|r|\le\rho$). Chaque terme étant continu, $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.

2. Régularité en $r$ et calcul de $g'$

La série dérivée terme à terme est $\sum_{n\ge1} r^{n-1}\cos(nx)$, normalement convergente sur $[-\rho,\rho]$, donc $g$ est $\mathcal{C}^1$ et $g'(r)=\sum_{n\ge1} r^{n-1}\cos(nx)=\operatorname{Re}\sum_{n\ge1} r^{n-1}e^{inx}=\operatorname{Re}\frac{e^{ix}}{1-re^{ix}}.$ En multipliant par le conjugué : $\dfrac{e^{ix}(1-re^{-ix})}{|1-re^{ix}|^2}=\dfrac{e^{ix}-r}{1-2r\cos x+r^2}$, d'où $g'(r)=\frac{\cos x-r}{1-2r\cos x+r^2}.$

3. Expression close de $f$

Comme $g'(r)=\dfrac{\cos x-r}{1-2r\cos x+r^2}=-\dfrac12\cdot\dfrac{-2\cos x+2r}{1-2r\cos x+r^2}=-\dfrac12\,\dfrac{d}{dr}\ln(1-2r\cos x+r^2)$, et $g(0)=0$, on intègre : $f(x)=g(r)=-\frac12\ln\big(1-2r\cos x+r^2\big).$

4. Intégrale $I(r)$

De $\ln(1-2r\cos x+r^2)=-2f(x)=-2\sum_{n\ge1}\dfrac{r^n\cos(nx)}{n}$ et de la convergence normale (intégration terme à terme) : $I(r)=\int_{-\pi}^{\pi}\ln(1-2r\cos x+r^2)\,dx=-2\sum_{n\ge1}\frac{r^n}{n}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx}_{=0}=0.$ Donc $I(r)=0$ pour tout $r\in\,]-1,1[$.

1. Égalité $I=J$

Dans $J$, le changement de variable $t=1/u$ (donc $dt=-u^{-2}du$) donne $J=\int_0^{+\infty}\frac{t^2}{1+t^4}\,dt=\int_0^{+\infty}\frac{u^{-2}}{1+u^{-4}}\,u^{-2}\,du=\int_0^{+\infty}\frac{du}{1+u^4}=I.$

2. Calcul de $I$ et $J$

$I+J=\int_0^{+\infty}\frac{1+t^2}{1+t^4}\,dt=\int_0^{+\infty}\frac{\tfrac1{t^2}+1}{t^2+\tfrac1{t^2}}\,dt.$ Avec $w=t-\dfrac1t$, $dw=\big(1+\tfrac1{t^2}\big)dt$ et $t^2+\tfrac1{t^2}=w^2+2$, $w$ parcourant $\mathbb{R}$ : $I+J=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dw}{w^2+2}=\Big[\frac1{\sqrt2}\arctan\frac{w}{\sqrt2}\Big]_{-\infty}^{+\infty}=\frac{\pi}{\sqrt2}.$ Comme $I=J$, on obtient $I=J=\dfrac{\pi}{2\sqrt2}=\dfrac{\pi\sqrt2}{4}$.

3. Calcul de $K$

Pour $a>0$, posons $\Phi(a)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dt}{t^4+a}$. Le changement $t=a^{1/4}s$ donne $\Phi(a)=a^{-3/4}\Phi(1)=a^{-3/4}I$. Or $\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(t^4+a)^2}=-\Phi'(a)=\frac34\,a^{-7/4}I.$ En $a=1$ : $K=\dfrac34\,I=\dfrac34\cdot\dfrac{\pi}{2\sqrt2}=\dfrac{3\pi}{8\sqrt2}=\dfrac{3\pi\sqrt2}{16}.$

1. Existence et unicité

Existence par récurrence : $T_0=1$, $T_1=X$ conviennent, et la formule $\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)=2\cos\theta\cos(n\theta)$ montre que si $T_{n-1},T_n$ existent, alors $T_{n+1}=2X\,T_n-T_{n-1}$ vérifie $T_{n+1}(\cos\theta)=\cos((n+1)\theta)$.

Unicité : deux tels polynômes coïncident sur $\{\cos\theta:\theta\in\mathbb{R}\}=[-1,1]$, ensemble infini, donc sont égaux.

2. Récurrence et premiers polynômes

La relation ci-dessus donne $T_{n+1}=2X\,T_n-T_{n-1},$ et $T_0=1,\quad T_1=X,\quad T_2=2X^2-1,\quad T_3=4X^3-3X.$

3. Degré, coefficient dominant, racines

Par récurrence, $\deg T_n=n$ et le coefficient dominant est $2^{n-1}$ pour $n\ge1$ (et $1$ pour $n=0$). Les racines : $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)=0\iff \theta=\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}$, d'où les $n$ racines distinctes $x_k=\cos\!\Big(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Big),\qquad k=0,1,\dots,n-1,$ toutes dans $]-1,1[$.

4. Produit scalaire

Avec $x=\cos\theta$ ($dx=-\sin\theta\,d\theta$, $\sqrt{1-x^2}=\sin\theta$ sur $[0,\pi]$) : $\langle T_n,T_m\rangle=\int_0^{\pi}\cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta=\begin{cases}0 & n\neq m,\\[2pt]\pi & n=m=0,\\[2pt]\dfrac\pi2 & n=m\ge1.\end{cases}$

5. Base orthogonale de $\mathbb{R}_m[X]$

Les polynômes $T_0,\dots,T_m$ sont non nuls et deux à deux orthogonaux d'après 4, donc linéairement indépendants. Ils sont au nombre de $m+1=\dim\mathbb{R}_m[X]$ et de degrés échelonnés $0,1,\dots,m$ : c'est donc une base orthogonale de $\mathbb{R}_m[X]$.