مسابقة دكتوراه 2025 — École Normale Supérieure d'Enseignement Technologique de Skikda (ENSET Skikda) — الموضوع 02

1.

Convergence simple. Pour $x=0$ : $f_{n}(0)=0$. Pour $x\gt 0$ fixé : $n^{\beta}e^{-nx}\to 0$ (croissance comparée), donc $f_{n}(x)\to 0$. La limite simple est $f\equiv 0$ pour tout $\beta$.

2.

Convergence uniforme. Étudions $\sup_{[0,1]}|f_{n}|$ : $f_{n}'(x)=n^{\beta}e^{-nx}(1-nx)$ s'annule en $x_{n}=\frac{1}{n}\in[0,1]$, maximum :

$\|f_{n}\|_{\infty}=f_{n}\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)=\frac{n^{\beta-1}}{e}$

Donc $\|f_{n}\|_{\infty}\to 0$ si et seulement si $\beta\lt 1$ (pour $\beta=1$, sup constant $=\frac{1}{e}$ ; pour $\beta\gt 1$, sup $\to+\infty$).

$\boxed{(f_{n})\to 0\ \text{simplement pour tout }\beta\ ;\ \text{uniformément sur }[0,1]\iff\beta\lt 1}$

1.

$f$ est paire : $b_{n}=0$. Pour $n\geq 0$ :

$a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(ax)\cos(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl[\cos((a+n)x)+\cos((a-n)x)\bigr]dx$

$=\frac{1}{\pi}\Bigl[\frac{\sin((a+n)\pi)}{a+n}+\frac{\sin((a-n)\pi)}{a-n}\Bigr]=\frac{(-1)^{n}\sin(a\pi)}{\pi}\Bigl[\frac{1}{a+n}+\frac{1}{a-n}\Bigr]=\frac{(-1)^{n}\,2a\sin(a\pi)}{\pi\,(a^{2}-n^{2})}$

$f$ étant continue et $C^{1}$ par morceaux, sa série de Fourier converge vers $f$ :

$\boxed{\cos(ax)=\frac{2a\sin(a\pi)}{\pi}\Bigl[\frac{1}{2a^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cos(nx)}{a^{2}-n^{2}}\Bigr],\qquad x\in[-\pi,\pi]}$

2.

Premier développement. Prenons $x=0$ :

$1=\frac{2a\sin(a\pi)}{\pi}\Bigl[\frac{1}{2a^{2}}+\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n}}{a^{2}-n^{2}}\Bigr]\quad\Longrightarrow\quad\frac{\pi}{\sin(a\pi)}=\frac{1}{a}+\sum_{n\geq 1}(-1)^{n}\frac{2a}{a^{2}-n^{2}}$

En posant $x=a\pi\in\,]0,\pi[$ (donc $a=\frac{x}{\pi}$) :

$\boxed{\frac{1}{\sin x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2x}{x^{2}-n^{2}\pi^{2}}}$

Deuxième développement. Prenons $x=\pi$ dans la série de Fourier ($\cos(n\pi)=(-1)^{n}$) :

$\cos(a\pi)=\frac{2a\sin(a\pi)}{\pi}\Bigl[\frac{1}{2a^{2}}+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{a^{2}-n^{2}}\Bigr]\quad\Longrightarrow\quad\pi\cot(a\pi)=\frac{1}{a}+\sum_{n\geq 1}\frac{2a}{a^{2}-n^{2}}$

Avec $x=a\pi$ :

$\boxed{\cot x=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{x^{2}-n^{2}\pi^{2}}}$

1.

Soit $(y_{1},y_{2})\notin\Delta$, i.e. $y_{1}\neq y_{2}$. Par séparation, il existe des ouverts disjoints $U\ni y_{1}$, $V\ni y_{2}$. Alors $U\times V$ est un voisinage ouvert de $(y_{1},y_{2})$ qui ne rencontre pas $\Delta$ (sinon $u=v\in U\cap V=\varnothing$). Le complémentaire de $\Delta$ est ouvert :

$\boxed{\Delta\text{ est fermée dans }Y\times Y}$

2.

L'application $g:X\times Y\to Y\times Y$, $(x,y)\mapsto(f(x),y)$ est continue (composantes continues). Or

$G(f)=\{(x,y):f(x)=y\}=g^{-1}(\Delta)$

image réciproque d'un fermé par une application continue :

$\boxed{G(f)\text{ est fermé dans }X\times Y}$

3.

Non. Contre-exemple : $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{1}{x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Son graphe est

$G(f)=\{(x,y):xy=1\}\cup\{(0,0)\}$

fermé dans $\mathbb{R}^{2}$ (réunion de deux fermés : une hyperbole, un point), mais $f$ n'est pas continue en $0$.

$\boxed{\text{Graphe fermé}\ \not\Rightarrow\ f\text{ continue (sans hypothèse supplémentaire)}}$

1.

Pour $x,x'\in X$ et $y\in F$ : $d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y)$. En passant à l'inf sur $y$ : $d(x,F)\leq d(x,x')+d(x',F)$. En échangeant $x$ et $x'$ :

$\boxed{|d(x,F)-d(x',F)|\leq d(x,x')}$

2.

$d(x,F)=0\iff$ il existe $y_{n}\in F$ avec $d(x,y_{n})\to 0\iff x$ est limite d'une suite de $F\iff x\in\overline{F}$.

3.

Posons

$U_{1}=\{x:d(x,F_{1})\lt d(x,F_{2})\},\qquad U_{2}=\{x:d(x,F_{2})\lt d(x,F_{1})\}$

Ce sont des ouverts (images réciproques d'ouverts par la fonction continue $x\mapsto d(x,F_{1})-d(x,F_{2})$), disjoints par construction. Si $x\in F_{1}$ : $d(x,F_{1})=0$ et $d(x,F_{2})\gt 0$ (car $x\notin F_{2}=\overline{F_{2}}$, question 2), donc $F_{1}\subseteq U_{1}$ ; de même $F_{2}\subseteq U_{2}$ :

$\boxed{\text{tout espace métrique est normal}}$

4.

La fonction $x\mapsto d(x,F_{1})$ est continue sur le compact $F_{2}$ : elle atteint son minimum en un point $y_{0}\in F_{2}$ :

$d(F_{1},F_{2})=\min_{y\in F_{2}}d(y,F_{1})=d(y_{0},F_{1})$

Si cette valeur était nulle, on aurait $y_{0}\in\overline{F_{1}}=F_{1}$ (question 2), contredisant $F_{1}\cap F_{2}=\varnothing$ :

$\boxed{d(F_{1},F_{2})\gt 0}$

(Sans compacité c'est faux : $F_{1}=\mathbb{N}$, $F_{2}=\{n+\frac{1}{n}:n\geq 2\}$ dans $\mathbb{R}$.)