مسابقة دكتوراه 2017 — Source inconnue — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours doctoral 2017-2018, université illisible

التمرين 1

Translation dans $L^p$ et continuité

#espaces Lp#translation#continuité

Soit $1\le p<\infty$ et $f\in L^p(I)$ . Établir, dans le cas régulier,

$\|\tau_hf-f\|_{L^p}\le C|h|,$

puis montrer la continuité des translations dans $L^p$ .

◀الحل

Si $f\in W^{1,p}$ ,

$f(x+h)-f(x)=\int_0^h f'(x+s)\,ds.$

L'inégalité de Minkowski donne

$\|\tau_hf-f\|_p\le |h|\|f'\|_p.$

Pour $f\in L^p$ , choisir $g\in C_c^\infty$ proche de $f$ . Alors

$\|\tau_hf-f\|_p\le2\|f-g\|_p+\|\tau_hg-g\|_p,$

et le dernier terme tend vers zéro avec $h$ .

التمرين 2

Méthode itérative pour une équation non linéaire

#méthode de Newton#convergence quadratique

Soit $f(x)=0$ une équation non linéaire ayant une racine $\alpha$ avec $f'(\alpha)\ne0$ . Étudier l'ordre de convergence de l'itération rationnelle donnée dans le sujet.

◀الحل

Écrivons l'itération sous la forme $x_{n+1}=\Phi(x_n)$ et posons $e_n=x_n-\alpha$ . Un développement de Taylor donne

$e_{n+1}=\Phi'(\alpha)e_n+\frac{1}{2}\Phi''(\alpha)e_n^2+O(e_n^3).$

Pour l'itération du sujet, $\Phi(\alpha)=\alpha$ et $\Phi'(\alpha)=0$ . Ainsi

$e_{n+1}=Ce_n^2+O(e_n^3),$

et la convergence locale est quadratique.

التمرين 3

Opérateur linéaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

#Banach#graphe fermé#Cauchy-Schwarz

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T:E\to F$ une application linéaire dont le graphe est fermé. Montrer que $T$ est continue. Déduire aussi, dans $\mathbb R^n$ ,

$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right).$

◀الحل

Le théorème du graphe fermé donne directement

$T\in\mathcal L(E,F).$

Pour Cauchy-Schwarz, on utilise

$0\le\|x-ty\|^2=\|x\|^2-2t\langle x,y\rangle+t^2\|y\|^2.$

Le discriminant de ce trinôme en $t$ est non positif, donc

$|\langle x,y\rangle|^2\le\|x\|^2\|y\|^2.$