مسابقة دكتوراه 2018

التمرين 1

Exercice 1 — Processus markoviens et à accroissements indépendants, simulation gaussienne

#stochastic-processes#markov-process#independent-increments#gaussian-simulation

Soient $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0},P,W)$ une base de probabilités, c.-à-d. $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0},P)$ est un espace filtré muni d'un processus de Wiener $W$ .

(2 pts) Donner la définition d'un processus markovien par rapport à $\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}$ .
(2 pts) Donner la définition d'un processus à accroissements indépendants.
(3 pts) Montrer qu'un processus à accroissements indépendants est un processus markovien.
(3 pts) Décrire avec justification un algorithme générant une variable aléatoire gaussienne.

◀الحل

1.

$(X_t)$ est markovien par rapport à $\mathbb{F}$ si pour tout $s\leq t$ et toute fonction borélienne bornée $\varphi$ :

$\mathbb{E}[\varphi(X_t)\mid\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[\varphi(X_t)\mid X_s].$

2.

$(X_t)$ est à accroissements indépendants si pour tous $0\leq t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n$ , les accroissements $X_{t_1}-X_{t_0},\ldots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ sont indépendants, et $X_t-X_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ .

3.

Soit $s\leq t$ . On écrit $X_t=X_s+(X_t-X_s)$ . L'accroissement $X_t-X_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ , donc

$\mathbb{E}[\varphi(X_t)\mid\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[\varphi(X_s+(X_t-X_s))\mid\mathcal{F}_s]=g(X_s),$

où $g(x)=\mathbb{E}[\varphi(x+(X_t-X_s))]$ ne dépend que de $X_s$ . C'est la propriété de Markov.

4.

Algorithme de Box-Muller : soient $U_1,U_2$ i.i.d. uniformes sur $(0,1)$ . On pose

$Z_1=\sqrt{-2\ln U_1}\cos(2\pi U_2),\qquad Z_2=\sqrt{-2\ln U_1}\sin(2\pi U_2).$

Alors $Z_1,Z_2$ sont i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ . Justification : en coordonnées polaires, la loi $\mathcal{N}(0,1)^{\otimes 2}$ a un rayon $R$ tel que $R^2\sim\mathcal{E}(1/2)$ (d'où $R^2=-2\ln U_1$ ) et un angle $\Theta\sim\mathcal{U}(0,2\pi)$ indépendant. Pour obtenir $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , poser $X=\mu+\sigma Z_1$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Équation de Langevin : résolution et processus d'Ornstein-Uhlenbeck

#stochastic-processes#langevin-equation#ornstein-uhlenbeck#euler-scheme

On considère l'équation de Langevin

$\begin{cases} dU=-bU\,dt+\sigma\,dW(t), \\\ U(0)=U_0,\ \text{p.s.} \end{cases}\tag{0.1}$

avec $b,\sigma\in\mathbb{R}$ et $U_0$ une variable aléatoire. On pose $Y(t):=U(t)-\sigma W(t)$ .

(1,5 pts) Montrer que $Y$ satisfait l'équation $Y'(t)+bY(t)=-b\sigma W(t)$ , $Y(0)=U_0$ . $\quad(0.2)$
(1 pt) Montrer qu'on peut comprendre l'Éq. $(0.2)$ trajectoire par trajectoire.
(2 pts) Résoudre l'Éq. $(0.2)$ .
(2 pts) Montrer que $W(t)=b\int_0^t e^{-b(t-s)}W(s)\,ds+\int_0^t e^{-b(t-s)}\,dW(s)$ et que

$U(t)=U_0 e^{-bt}+\sigma\int_0^t e^{-b(t-s)}\,dW(s).\tag{0.3}$

(1,5 pts) Résoudre l'Éq. $(0.1)$ en utilisant la formule d'Itô.
(1 pt) Utiliser le schéma d'Euler pour approximer la solution de l'Éq. $(0.1)$ , et décrire un algorithme pour calculer la solution approximative.

◀الحل

1.

$Y(t)=U(t)-\sigma W(t)$ . Comme $dU=-bU\,dt+\sigma dW$ , on a $dY=dU-\sigma dW=-bU\,dt=-b(Y+\sigma W)\,dt$ . Donc $Y'(t)=-bY(t)-b\sigma W(t)$ , soit $Y'+bY=-b\sigma W$ , $Y(0)=U_0$ .

2.

$Y$ est à trajectoires continues et l'équation $(0.2)$ ne contient plus de terme $dW$ : c'est une EDO linéaire ordinaire (à second membre aléatoire mais continu), résolvable trajectoire par trajectoire pour presque tout $\omega$ .

3.

Facteur intégrant $e^{bt}$ : $(e^{bt}Y)'=-b\sigma e^{bt}W(t)$ . En intégrant :

$Y(t)=U_0 e^{-bt}-b\sigma\int_0^t e^{-b(t-s)}W(s)\,ds.$

4.

Par intégration par parties stochastique appliquée à $d(e^{-b(t-s)}W(s))$ , on obtient l'identité

$W(t)=b\int_0^t e^{-b(t-s)}W(s)\,ds+\int_0^t e^{-b(t-s)}\,dW(s).$

Comme $U(t)=Y(t)+\sigma W(t)$ , en remplaçant $Y$ et en utilisant cette identité :

$\boxed{U(t)=U_0 e^{-bt}+\sigma\int_0^t e^{-b(t-s)}\,dW(s).}$

C'est le processus d'Ornstein-Uhlenbeck.

5.

Par Itô, $d(e^{bt}U)=e^{bt}(dU+bU\,dt)=e^{bt}\sigma\,dW$ . En intégrant : $e^{bt}U(t)=U_0+\sigma\int_0^t e^{bs}dW(s)$ , d'où $(0.3)$ .

6.

Schéma d'Euler-Maruyama sur une grille $t_k=k\Delta t$ :

$U_{k+1}=U_k-bU_k\,\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\,\xi_k,\quad \xi_k\sim\mathcal{N}(0,1)\ \text{i.i.d.}$

Algorithme : (1) fixer $\Delta t$ , $U_0$ ; (2) pour $k=0,\ldots,N-1$ tirer $\xi_k\sim\mathcal{N}(0,1)$ (Box-Muller) ; (3) mettre à jour $U_{k+1}$ par la récurrence ci-dessus ; (4) retourner la trajectoire $(U_k)$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Sondage sans remise : probabilités d'inclusion, espérance et variance de la moyenne

#statistics#survey-sampling#inclusion-probability#sampling-without-replacement

Soit la population $U=\{1,2,3,4\}$ des revenus :

$Y_1=100,\quad Y_2=240,\quad Y_3=300,\quad Y_4=360.$

On veut interroger deux personnes ( $n_s=2$ ) de cette population $U$ .

(1 pt) Écrire l'ensemble des échantillons possibles sans remise $S$ .
(1 pt) Trouver la taille $|S|$ et calculer la probabilité $p(s)$ , $\forall s\in S$ .
(1,5 pts) Calculer le taux de sondage $f$ et en déduire la probabilité d'inclusion $\pi_k$ , $\forall k\in U$ .
(1,5 pts) Calculer la probabilité d'inclusion mixte $\pi_{kl}$ , $\forall k,l\in U$ .
(1,5 pts) Calculer $\mathbb{E}(\bar{y}_s)$ .
(1,5 pts) Calculer $\operatorname{Var}(\bar{y}_s)$ .

◀الحل

1.

$S=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\}.$

2.

$|S|=\binom{4}{2}=6$ , et par tirage équiprobable $p(s)=\dfrac{1}{6}$ pour tout $s\in S$ .

3.

Taux de sondage $f=\dfrac{n_s}{N}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ . Par symétrie, $\pi_k=f=\dfrac{1}{2}$ pour tout $k$ .

4.

$\pi_{kl}=\frac{n_s(n_s-1)}{N(N-1)}=\frac{2\cdot 1}{4\cdot 3}=\frac{1}{6},\quad k\neq l.$

5.

La moyenne d'échantillon est sans biais pour la moyenne de population $\bar{Y}=\dfrac{100+240+300+360}{4}=250$ :

$\boxed{\mathbb{E}(\bar{y}_s)=250.}$

6.

Variance en SAS (sans remise) : $\operatorname{Var}(\bar{y}_s)=\dfrac{1-f}{n_s}S^2$ avec $S^2=\dfrac{1}{N-1}\sum(Y_k-\bar{Y})^2$ .

Les carrés des écarts : $(-150)^2+(-10)^2+50^2+110^2=22500+100+2500+12100=37200$ , donc $S^2=\dfrac{37200}{3}=12400$ .

$\operatorname{Var}(\bar{y}_s)=\frac{1-\tfrac12}{2}\times 12400=\boxed{3100.}$