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مسابقة دكتوراه 2023 — Source inconnue — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

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التمرين 3

Série de Fourier d'une fonction triangulaire tronquée

#analyse#séries de Fourier#fonction paire#convergence#séries numériques

Soit θ∈[0,π]. On considère la fonction 2π-périodique f:R→R définie par f(x)=x+θ si x∈[-θ,0], f(x)=-x+θ si x∈[0,θ], et f(x)=0 si x∈[-π,-θ]∪[θ,π]. 1) Tracer le graphe de f sur [-π,π] pour θ=π/2. 2) Déterminer la série de Fourier associée à f. 3) Étudier la nature de la série de Fourier sur R. 4) Calculer la somme de la série de fonctions ∑{n=1}^{+∞} (1/n²) sin²(nθ/2). 5) En déduire la somme numérique ∑{k=0}^{+∞} 1/(2k+1)².

Résultat classique : la série de Fourier d'une fonction triangulaire converge normalement (coefficients en 1/n21/n^2), et le choix θ=π\theta = \pi redonne la somme des inverses des carrés des impairs, π2/8\pi^2/8.

◀الحل

1) Parité. ff est paire, donc bn=0b_n=0 pour tout n≥1n\ge 1 ; seuls les coefficients ana_n interviennent.

2) Calcul des ana_n. Par intégration par parties, puis avec l'identité 1−cos⁡u=2sin⁡2 ⁣(u2)1-\cos u=2\sin^2\!\big(\tfrac{u}{2}\big) : an=2π∫0πf(x)cos⁡(nx) dx=4πn2 sin⁡2 ⁣(nθ2),n≥1.a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx=\frac{4}{\pi n^{2}}\,\sin^{2}\!\left(\frac{n\theta}{2}\right),\qquad n\ge 1.

3) Convergence et identité. ff est continue et C1C^1 par morceaux : d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier converge vers ff en tout point. L'évaluation au point adéquat donne : ∑n=1+∞sin⁡2(nθ/2)n2=θ (2π−θ)8.\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin^{2}(n\theta/2)}{n^{2}}=\frac{\theta\,(2\pi-\theta)}{8}.

4) Cas particulier θ=π\theta=\pi. Alors sin⁡2 ⁣(nπ2)=1\sin^{2}\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=1 si nn est impair et 00 si nn est pair, d'où ∑k=0+∞1(2k+1)2=π28.\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}.