مسابقة دكتوراه 2023 — Source inconnue — الموضوع 03

1.

$D_{\varepsilon}$ est la couronne fermée comprise entre les cercles centrés en l'origine de rayons $\varepsilon$ et $1$ (pour $\varepsilon\lt 1$).

2.

$\boxed{\text{Aire}(D_{\varepsilon})=\pi(1-\varepsilon^{2})}$

3.

En coordonnées polaires, $I_{\varepsilon}(\alpha)=\int_{0}^{2\pi}\int_{\varepsilon}^{1}r^{1-2\alpha}\,dr\,d\theta$.

Si $\alpha\neq 1$ :

$I_{\varepsilon}(\alpha)=2\pi\cdot\frac{1-\varepsilon^{2-2\alpha}}{2-2\alpha}=\frac{\pi\bigl(1-\varepsilon^{2-2\alpha}\bigr)}{1-\alpha}$

Si $\alpha=1$ :

$I_{\varepsilon}(1)=2\pi\ln\frac{1}{\varepsilon}=-2\pi\ln\varepsilon$

4.

Si $\alpha\lt 1$ : $\varepsilon^{2-2\alpha}\to 0$, donc

$\boxed{\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}I_{\varepsilon}(\alpha)=\frac{\pi}{1-\alpha}\quad(\alpha\lt 1),\qquad\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}I_{\varepsilon}(\alpha)=+\infty\quad(\alpha\geq 1)}$

5.

Par le théorème de Fubini–Tonelli (intégrande positive), en séparant les variables :

$\iiint_{B}\frac{z^{\alpha}}{(x^{2}+y^{2})^{\alpha}}\,dx\,dy\,dz=\Bigl(\int_{1}^{2}z^{\alpha}\,dz\Bigr)\Bigl(\iint_{x^{2}+y^{2}\leq 1}\frac{dx\,dy}{(x^{2}+y^{2})^{\alpha}}\Bigr)$

La deuxième intégrale vaut $\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}I_{\varepsilon}(\alpha)=\frac{\pi}{1-\alpha}$ (car $0\lt\alpha\lt 1$), et $\int_{1}^{2}z^{\alpha}dz=\frac{2^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}$ :

$\boxed{\iiint_{B}\frac{z^{\alpha}}{(x^{2}+y^{2})^{\alpha}}\,dx\,dy\,dz=\frac{\pi\,(2^{\alpha+1}-1)}{(1-\alpha)(\alpha+1)}}$

1.

Posons $h_{n}(x)=f\Bigl(1+\frac{x}{n^{2}}\Bigr)g(x)\,\chi_{[-n,n]}(x)$, de sorte que l'intégrale étudiée vaut $\int_{\mathbb{R}}h_{n}\,d\lambda$.

Convergence simple : pour $x\in\mathbb{R}$ fixé, $\frac{x}{n^{2}}\to 0$, donc par continuité de $f$ au point $1$, $f\bigl(1+\frac{x}{n^{2}}\bigr)\to f(1)$ ; de plus $\chi_{[-n,n]}(x)=1$ pour $n\geq|x|$. Donc $h_{n}(x)\to f(1)\,g(x)$.

Domination : $|h_{n}(x)|\leq M\,|g(x)|$ où $M=\sup|f|$, et $M|g|$ est intégrable.

Par le théorème de convergence dominée :

$\boxed{\lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{n}f\Bigl(1+\frac{x}{n^{2}}\Bigr)g(x)\,dx=f(1)\int_{\mathbb{R}}g(x)\,dx}$

1.

En injectant $u=V(x)e^{i\lambda t}$ dans l'équation : $-\lambda^{2}V=c^{2}V''$, soit

$V''+\frac{\lambda^{2}}{c^{2}}V=0,\qquad V(0)=V(L)=0$

Les solutions non triviales de ce problème aux limites sont obtenues pour

$\frac{\lambda}{c}=\frac{n\pi}{L},\qquad V_{n}(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad\lambda_{n}=\frac{n\pi c}{L},\quad n\in\mathbb{N}^{*}$

En superposant les modes propres (parties réelle et imaginaire de $e^{i\lambda_{n}t}$) :

$u(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\frac{n\pi x}{L}\Bigl(a_{n}\cos\frac{n\pi c t}{L}+b_{n}\sin\frac{n\pi c t}{L}\Bigr)$

Les conditions initiales imposent, via les séries de Fourier en sinus :

$a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad b_{n}=\frac{2}{n\pi c}\int_{0}^{L}g(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$

$\boxed{u(x,t)=\sum_{n\geq 1}\sin\frac{n\pi x}{L}\Bigl(a_{n}\cos\lambda_{n}t+b_{n}\sin\lambda_{n}t\Bigr),\qquad\lambda_{n}=\frac{n\pi c}{L}}$

2.

Soient $u_{1},u_{2}$ deux solutions de $(P)$ et $w=u_{1}-u_{2}$ : alors $w_{tt}=c^{2}w_{xx}$, $w(x,0)=w_{t}(x,0)=0$, $w(0,t)=w(L,t)=0$. On introduit l'énergie

$E(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\bigl(w_{t}^{2}+c^{2}w_{x}^{2}\bigr)\,dx$

Alors, par intégration par parties (termes de bord nuls car $w_{t}(0,t)=w_{t}(L,t)=0$) :

$E'(t)=\int_{0}^{L}\bigl(w_{t}w_{tt}+c^{2}w_{x}w_{xt}\bigr)dx=\int_{0}^{L}w_{t}\bigl(w_{tt}-c^{2}w_{xx}\bigr)dx=0$

Donc $E(t)=E(0)=0$ pour tout $t$, d'où $w_{t}\equiv 0$ et $w_{x}\equiv 0$ : $w$ est constante, et $w(x,0)=0$ donne $w\equiv 0$.

$\boxed{\text{La solution de }(P)\text{ est unique}}$