مسابقة دكتوراه 2025 — Source inconnue — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP

Concours de Doctorat 2024/2025, sujet Distributions et EDP (Vp(1/x) et Laplacien avec conditions mixtes), source non identifiée

التمرين 1

Exercice 1 (2025, Distributions) — Valeur principale $\mathrm{Vp}(1/x)$ : distribution d'ordre exactement 1

#distributions#valeur principale#ordre d'une distribution#dérivée au sens des distributions

Montrer que l'application $\mathrm{Vp}\left(\dfrac{1}{x}\right)$ définit une distribution.
Déduire que l'ordre de la distribution $\mathrm{Vp}\left(\dfrac{1}{x}\right)$ est inférieur ou égal à 1.
En utilisant la suite $(\varphi_n)_{n\ge 1}\subset\mathcal{D}(\mathbb{R})$ , telle que $\varphi_n(x)=1$ si $x\in[1/n,1]$ , $\varphi_n(x)=0$ si $x\le 1/(2n)$ ou $x\ge 2$ , et $0\le\varphi_n\le 1$ , montrer que l'ordre de la distribution $\mathrm{Vp}(1/x)$ est différent de $0$ et coïncide avec $1$ .
Calculer au sens des distributions la dérivée d'ordre $1$ de $\mathrm{Vp}(1/x)$ .

$\mathrm{Vp}(1/x)$ est l'une des distributions les plus importantes en analyse (transformée de Hilbert, relations de Plemelj-Sokhotski). Son ordre est exactement $1$ . Sa dérivée est la partie finie de Hadamard $\mathrm{Pf}(1/x^2)$ , d'ordre $2$ .

◀الحل

$\mathrm{Vp}(1/x)(\varphi) = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{|x|>\varepsilon}\dfrac{\varphi(x)}{x}dx$ pour $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ . Existence : Soit $\varphi\in\mathcal{D}$ à support dans $[-A,A]$ . Alors $\int_{\varepsilon<|x|<A}\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx + \varphi(0)\int_{\varepsilon<|x|<A}\dfrac{dx}{x}$ . Le second intégrand est impair, intégrale nulle. Le premier est borné par $2A\|\varphi'\|_\infty$ (par TAF), donc converge quand $\varepsilon\to 0$ . Linéarité claire. Continuité : $|\langle\mathrm{Vp}(1/x),\varphi\rangle|\le C_A\|\varphi'\|_\infty$ pour $\varphi$ à support dans $[-A,A]$ .
La majoration $|\langle\mathrm{Vp}(1/x),\varphi\rangle|\le C_A(\|\varphi\|_\infty+\|\varphi'\|_\infty)$ montre que $\mathrm{Vp}(1/x)$ est d'ordre $\le 1$ .
On veut montrer que l'ordre n'est pas $0$ , i.e. qu'il n'existe pas de constante $C$ telle que $|\langle T,\varphi\rangle|\le C\|\varphi\|_\infty$ pour toute $\varphi\in\mathcal{D}([1/(2n),2])$ . Prendre $\varphi_n$ comme décrit. Alors $\langle\mathrm{Vp}(1/x),\varphi_n\rangle = \int_{1/(2n)}^2\dfrac{\varphi_n(x)}{x}dx \ge \int_{1/n}^1\dfrac{1}{x}dx = \ln n\to+\infty.$ Or $\|\varphi_n\|_\infty\le 1$ . Donc l'ordre $\ge 1$ . Combiné avec (2), ordre $=1$ .
Dérivée : $\dfrac{d}{dx}\mathrm{Vp}(1/x) = -\mathrm{Pf}(1/x^2)$ (partie finie de Hadamard). Formellement : $\Big\langle\dfrac{d}{dx}\mathrm{Vp}(1/x),\varphi\Big\rangle = -\Big\langle\mathrm{Vp}(1/x),\varphi'\Big\rangle = -\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|x|>\varepsilon}\dfrac{\varphi'(x)}{x}dx.$

Intégrant par parties sur $|x|>\varepsilon$ : $\int_{|x|>\varepsilon}\dfrac{\varphi'(x)}{x}dx = \left[\dfrac{\varphi(x)}{x}\right]_{|x|>\varepsilon} + \int_{|x|>\varepsilon}\dfrac{\varphi(x)}{x^2}dx$ . Le crochet vaut $\dfrac{\varphi(-\varepsilon)}{-\varepsilon}-\dfrac{\varphi(\varepsilon)}{\varepsilon} = -\dfrac{\varphi(\varepsilon)+\varphi(-\varepsilon)}{\varepsilon} \to -2\varphi(0)/0$ divergent. Une renormalisation donne $\Big\langle\dfrac{d}{dx}\mathrm{Vp}(1/x),\varphi\Big\rangle = -\mathrm{Pf}\int\dfrac{\varphi(x)}{x^2}dx = -\lim_{\varepsilon\to 0}\Big(\int_{|x|>\varepsilon}\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}dx-\dfrac{2\varphi(0)}{\varepsilon}\Big).$

Autre écriture : $\dfrac{d}{dx}\mathrm{Vp}(1/x) = -\mathrm{Pf}(1/x^2)$ où $\mathrm{Pf}(1/x^2)$ est la partie finie de Hadamard.

التمرين 2

Exercice 2 (2025, EDP, 12 pts) — Laplacien avec conditions aux limites mêlées (Dirichlet-Neumann) et formulation variationnelle

#Laplacien#conditions mêlées#espaces de Sobolev#inégalité de Poincaré#formulation variationnelle#Lax-Milgram

On suppose que $\Omega$ est un ouvert borné connexe. On considère le problème du Laplacien avec des conditions aux limites mêlées $\begin{cases}\Delta u = f, & f\in L^2(\Omega)\\ u = 0 & \text{sur }\Gamma_D\\ \dfrac{\partial u}{\partial \eta} = 0 & \text{sur }\Gamma_N = \Gamma\setminus\overline{\Gamma_D}\end{cases}\quad (1)$

Notons par $H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$ l'espace $H^1_{\Gamma_D}(\Omega) = \{u\in H^1(\Omega);\ u=0\ \text{sur}\ \Gamma_D\}.$

Montrer qu'il existe $C>0$ tel que pour tout $u\in H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$ : $\|u\|_{L^2(\Omega)}\le C\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}.$
En déduire que $\|u\|_{H^1_{\Gamma_D}(\Omega)} = \|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}$ est une norme sur $H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$ équivalente à la norme de $H^1(\Omega)$ .
Montrer que $H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$ est un espace de Hilbert.
À l'aide de l'approche variationnelle, montrer que le problème (1) admet une solution unique dans l'espace $H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$ .

Problème mixte Dirichlet-Neumann : cadre variationnel classique. La condition Dirichlet sur $\Gamma_D$ est essentielle (imposée dans l'espace $H^1_{\Gamma_D}$ ), la condition Neumann sur $\Gamma_N$ est naturelle (obtenue à partir de la formulation variationnelle). L'inégalité de Poincaré requiert $|\Gamma_D|>0$ ; sinon on aurait pur Neumann, non coercif sur $H^1$ et il faudrait quotienter par les constantes.

◀الحل

Inégalité de Poincaré-Friedrichs : Sur $H^1_{\Gamma_D}$ (fonctions nulles sur une partie de mesure $>0$ du bord), l'inégalité $\|u\|_{L^2}\le C\|\nabla u\|_{L^2}$ vaut par l'argument standard de compacité (Rellich) : sinon, $\exists u_n$ avec $\|u_n\|_{L^2}=1$ et $\|\nabla u_n\|_{L^2}\to 0$ . Par Rellich, une sous-suite $(u_{n_k})$ converge dans $L^2$ vers $u^*$ avec $\|u^*\|=1$ et $\nabla u^* = 0$ dans $H^{-1}$ . Donc $u^*$ constante (car $\Omega$ connexe). Passage à la limite trace : $u^*=0$ sur $\Gamma_D$ (car $H^1_{\Gamma_D}$ fermé). Comme $|\Gamma_D|>0$ , $u^*\equiv 0$ , contradiction avec $\|u^*\|=1$ .
De (1), $\|u\|_{H^1}^2 = \|u\|_{L^2}^2+\|\nabla u\|_{L^2}^2 \le (C^2+1)\|\nabla u\|_{L^2}^2$ , et évidemment $\|\nabla u\|_{L^2}\le \|u\|_{H^1}$ . Donc normes équivalentes.
$H^1_{\Gamma_D}$ est fermé dans $H^1(\Omega)$ (comme noyau de l'opérateur de trace $\mathrm{tr}_{\Gamma_D}:H^1\to H^{1/2}(\Gamma_D)$ continu). Sous-espace fermé d'un Hilbert = Hilbert.
Formulation variationnelle : multiplier (1) par $v\in H^1_{\Gamma_D}$ , intégrer, IPP (avec Green) : $\int_\Omega \Delta u\cdot v = -\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v + \int_\Gamma\dfrac{\partial u}{\partial\eta}v.$

Sur $\Gamma_D$ , $v=0$ ; sur $\Gamma_N$ , $\partial u/\partial\eta=0$ . Donc $\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v = -\int_\Omega f v$ .

Formulation : trouver $u\in H^1_{\Gamma_D}$ tel que $\forall v\in H^1_{\Gamma_D}$ : $a(u,v)=L(v)$ où $a(u,v)=\int\nabla u\cdot\nabla v$ et $L(v)=-\int fv$ .

Lax-Milgram : $a$ bilinéaire, continue ( $|a(u,v)|\le\|\nabla u\|\|\nabla v\|$ ), coercive par (1) : $a(u,u)=\|\nabla u\|^2 \ge \alpha\|u\|_{H^1}^2$ où $\alpha=1/(1+C^2)$ . $L$ linéaire continue ( $|L(v)|\le\|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2}\le C\|f\|\cdot\|\nabla v\|$ ). Donc Lax-Milgram : solution unique $u\in H^1_{\Gamma_D}$ .