مسابقة دكتوراه 2025 — Source inconnue — الموضوع 02

1. Détermination de $\alpha, \beta$

On impose l'exactitude sur $1, t, t^2$ :

• Pour $g=1$ : $\displaystyle\int_{-1}^1 1\,dt = 2 = \alpha + \beta + \alpha = 2\alpha+\beta$.
• Pour $g=t$ : $\displaystyle\int_{-1}^1 t\,dt = 0 = -\alpha + 0 + \alpha$, automatiquement vérifiée (symétrie).
• Pour $g=t^2$ : $\displaystyle\int_{-1}^1 t^2\,dt = \frac{2}{3} = \alpha + 0 + \alpha = 2\alpha \implies \alpha = \frac13$.

De $2\alpha+\beta = 2$ : $\beta = 2 - \frac23 = \frac43$.

$\boxed{\alpha = \frac{1}{3}, \qquad \beta = \frac{4}{3}.}$

On reconnaît la formule de Simpson : $Q(g) = \dfrac{1}{3}\big(g(-1) + 4g(0) + g(1)\big)$.

2. Exactitude sur $\mathbb{R}_3[X]$ mais pas $\mathbb{R}_4[X]$

Par linéarité, il suffit de tester $g = t^3$ et $g=t^4$ (les degrés $\le 2$ sont déjà acquis).

Pour $g=t^3$ : $\displaystyle\int_{-1}^1 t^3\,dt = 0$ (fonction impaire), et $Q(t^3) = \frac13(-1) + \frac43\cdot0 + \frac13(1) = 0$. Égalité : $Q$ est exacte sur les impairs, donc sur $\mathbb{R}_3[X]$.

Pour $g=t^4$ : $\displaystyle\int_{-1}^1 t^4\,dt = \frac{2}{5}$, et $Q(t^4) = \frac13(1) + \frac43(0) + \frac13(1) = \frac23$.

$\frac23 \neq \frac25 \implies \boxed{Q \text{ n'est pas exacte sur } \mathbb{R}_4[X].}$

Donc $Q$ est exacte exactement jusqu'au degré $3$.

3. Formule sur $[x_i, x_{i+1}]$

Soit $\varphi(t) = m_i + \dfrac{h}{2}t$ le changement de variable affine envoyant $[-1,1]$ sur $[x_i,x_{i+1}]$ ($dx = \frac{h}{2}dt$). Alors :

$\int_{x_i}^{x_{i+1}} g(x)\,dx = \frac{h}{2}\int_{-1}^1 g(\varphi(t))\,dt \approx \frac{h}{2}\cdot\frac13\Big(g(x_i) + 4g(m_i) + g(x_{i+1})\Big),$

$\boxed{\int_{x_i}^{x_{i+1}} g(x)\,dx \approx \frac{h}{6}\Big[g(x_i) + 4g(m_i) + g(x_{i+1})\Big].}$

4. Formule composite et stabilité

En sommant sur les $N$ sous-intervalles $[x_i,x_{i+1}]$, $i=0,\dots,N-1$, avec $x_i = a+ih$ :

$F(g) = \frac{h}{6}\sum_{i=0}^{N-1}\Big[g(x_i) + 4g(m_i) + g(x_{i+1})\Big] = \frac{h}{6}\left[g(a) + g(b) + 2\sum_{i=1}^{N-1}g(x_i) + 4\sum_{i=0}^{N-1}g(m_i)\right].$

Tous les coefficients ($1, 2, 4$ multipliés par $h/6 > 0$) sont positifs. Une formule de quadrature à coefficients positifs est stable : pour une perturbation $\|g-\tilde g\|_\infty \leq \varepsilon$,

$|F(g)-F(\tilde g)| \leq \varepsilon \sum |\text{coefficients}| = \varepsilon(b-a),$

car la somme des coefficients vaut $(b-a)$ (exactitude sur les constantes). D'où :

$\boxed{F \text{ est stable.}}$

5. Estimation de l'erreur

Sur $[x_i,x_{i+1}]$, en effectuant un DL de Taylor à l'ordre $3$ de $g$ au point $m_i$ et en intégrant (calcul standard de l'erreur de Simpson), on obtient l'erreur locale :

$R_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} g - \frac{h}{6}[g(x_i)+4g(m_i)+g(x_{i+1})] = -\frac{h^5}{2880}g^{(4)}(\xi_i), \quad \xi_i \in [x_i,x_{i+1}],$

d'où :

$\boxed{|R_i| \leq \frac{M_4\, h^5}{2880}, \qquad M_4 = \sup_{[a,b]}|g^{(4)}|.}$

Erreur globale : en sommant sur les $N = \dfrac{b-a}{h}$ sous-intervalles :

$|E| = \left|\sum_{i=0}^{N-1} R_i\right| \leq N\cdot\frac{M_4h^5}{2880} = \frac{b-a}{h}\cdot\frac{M_4h^5}{2880} = \boxed{\frac{(b-a)M_4 h^4}{2880}.}$

La méthode composite est donc d'ordre 4 en $h$.