مسابقة دكتوراه 2025 — Source inconnue — الموضوع 03

1.

On compare la moyenne d'une variable quantitative (la teneur en vitamine C) entre plusieurs groupes définis par un facteur qualitatif (la variété, à $I=6$ modalités puisque $\text{Df}_{\text{Variété}}=5$). La méthode adaptée est l'analyse de la variance à un facteur (ANOVA à un facteur).

2.

Modèle : pour la variété $i$ ($i=1,\dots,6$) et l'observation $j$ ($j=1,\dots,n_i$, avec $\sum_i n_i=30$ car $\text{Df}_{\text{tot}}=29$),

$Y_{ij}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{ij},\qquad \sum_{i} n_i\alpha_i=0,$

où $\mu$ est la moyenne générale, $\alpha_i$ l'effet de la variété $i$ et $\varepsilon_{ij}$ les erreurs.

Hypothèses du modèle :

• indépendance des observations ;
• normalité des erreurs : $\varepsilon_{ij}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ ;
• homoscédasticité : même variance $\sigma^2$ dans tous les groupes.

Hypothèses testées : $H_0:\alpha_1=\dots=\alpha_6=0$ (même teneur moyenne pour toutes les variétés) contre $H_1$ : au moins un $\alpha_i\neq0$.

3.

• Homoscédasticité (test de Bartlett, Figure 2) : $p=0,3469>0,05$, on ne rejette pas l'égalité des variances ; l'hypothèse d'homoscédasticité est acceptée.
• Normalité des résidus (test de Shapiro–Wilk, Figure 3) : $W=0,9563$, $p=0,2485>0,05$, on ne rejette pas la normalité ; l'hypothèse de normalité est acceptée.
• Indépendance : assurée par le tirage au hasard des pommes.

Les trois hypothèses étant satisfaites, l'ANOVA est valide.

4.

Le test de Fisher (Figure 1) donne

$F=\frac{9,167}{1,605}=5,713\quad\text{avec }(5,24)\text{ degrés de liberté},\qquad p=0,00131.$

Comme $p=0,00131<0,05$ (de façon équivalente $F=5,713>F_{0,95}(5,24)\approx 2,62$),

$\boxed{\ \text{on rejette } H_0 \text{ au risque } 5\%.\ }$

Il existe donc une différence significative de teneur moyenne en vitamine C entre les variétés de pommes.

1.

Pour $X\sim\mathcal{U}([0,\theta])$, $E[X]=\dfrac{\theta}{2}$. La méthode des moments égale le moment théorique au moment empirique $\overline{X}=\dfrac1n\sum_i X_i$ :

$\frac{\theta}{2}=\overline{X}\;\Longrightarrow\;\boxed{\ \hat\theta_M=2\overline{X}.\ }$

Biais : $E[\hat\theta_M]=2E[\overline{X}]=2\cdot\dfrac{\theta}{2}=\theta$, donc $\hat\theta_M$ est sans biais.

2.

La densité est $f(x;\theta)=\dfrac1\theta\mathbf{1}_{[0,\theta]}(x)$. La vraisemblance vaut

$L(\theta;x_1,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n\frac1\theta\mathbf{1}_{[0,\theta]}(x_i)=\frac{1}{\theta^{n}}\,\mathbf{1}_{\{x_{(n)}\le\theta\}}\,\mathbf{1}_{\{x_{(1)}\ge0\}}.$

Sur $\{\theta\ge x_{(n)}\}$, $L$ est strictement décroissante en $\theta$ (et nulle si $\theta<x_{(n)}$) ; elle est donc maximale au plus petit $\theta$ admissible :

$\boxed{\ \hat\theta_{MV}=X_{(n)}.\ }$

3.

Pour $0\le x\le\theta$, $F_{X_{(n)}}(x)=\big(F_X(x)\big)^n=\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{n}$, d'où la densité

$\boxed{\ f_{X_{(n)}}(x)=\frac{n\,x^{n-1}}{\theta^{n}}\,\mathbf{1}_{[0,\theta]}(x).\ }$

Espérance : $E[X_{(n)}]=\displaystyle\int_0^\theta x\,\frac{n x^{n-1}}{\theta^n}\,dx=\frac{n}{n+1}\theta$. Le biais de l'EMV est donc

$\text{Biais}(\hat\theta_{MV})=E[X_{(n)}]-\theta=\frac{n}{n+1}\theta-\theta=\boxed{-\frac{\theta}{n+1}}<0,$

l'EMV sous-estime $\theta$.

4.

Comme $E[X_{(n)}]=\dfrac{n}{n+1}\theta$, l'estimateur

$\boxed{\ \hat\theta_{UB}=\frac{n+1}{n}\,X_{(n)}\ }$

vérifie $E[\hat\theta_{UB}]=\dfrac{n+1}{n}\cdot\dfrac{n}{n+1}\theta=\theta$ : il est sans biais.

5.

Pour $\hat\theta_M$ (sans biais), $\text{EQM}=\text{Var}$ :

$\text{EQM}(\hat\theta_M)=\text{Var}(2\overline{X})=\frac{4}{n}\text{Var}(X)=\frac{4}{n}\cdot\frac{\theta^2}{12}=\boxed{\ \frac{\theta^{2}}{3n}.\ }$

Pour $\hat\theta_{UB}$ (sans biais) : avec $E[X_{(n)}^2]=\displaystyle\int_0^\theta x^2\frac{n x^{n-1}}{\theta^n}dx=\frac{n}{n+2}\theta^2$,

$\text{Var}(X_{(n)})=\frac{n}{n+2}\theta^2-\left(\frac{n}{n+1}\theta\right)^2=\frac{n\,\theta^2}{(n+2)(n+1)^2},$

donc

$\text{EQM}(\hat\theta_{UB})=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\text{Var}(X_{(n)})=\boxed{\ \frac{\theta^{2}}{n(n+2)}.\ }$

Comparaison : $\dfrac{\text{EQM}(\hat\theta_{UB})}{\text{EQM}(\hat\theta_M)}=\dfrac{\theta^2/[n(n+2)]}{\theta^2/(3n)}=\dfrac{3}{n+2}\le 1$ pour $n\ge1$ (égalité si $n=1$). Pour $n\ge2$, $\text{EQM}(\hat\theta_{UB})\sim\dfrac{\theta^2}{n^2}\ll\dfrac{\theta^2}{3n}=\text{EQM}(\hat\theta_M)$.

$\boxed{\ \hat\theta_{UB}\text{ est préférable au sens de l'EQM (dès } n\ge2).\ }$

On pose $d_k=M_k-M_{k-1}$ (accroissements de martingale), de sorte que $\mathbb{E}[d_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]=0$, et $X_k-X_{k-1}=\dfrac{d_k}{k}$.

1.

• Adaptation : $X_n=\sum_{k\le n}\dfrac{d_k}{k}$ est $\mathcal{F}_n$-mesurable.
• Carré intégrable : $|M_k|\le K$ donne $|d_k|\le 2K$, donc $|X_n|\le 2K\sum_{k=1}^n\dfrac1k<\infty$ : $X_n$ est bornée, donc $X_n\in L^2$.
• Propriété de martingale : comme $\dfrac{1}{n+1}$ est $\mathcal{F}_n$-mesurable,

$\mathbb{E}[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]=X_n+\frac{1}{n+1}\,\mathbb{E}[M_{n+1}-M_n\mid\mathcal{F}_n]=X_n.$

Donc $(X_n)$ est une martingale de carré intégrable.

2.

Les $\dfrac{d_k}{k}$ sont des accroissements de martingale, orthogonaux dans $L^2$ : pour $j<k$,

$\mathbb{E}\!\left[\frac{d_j}{j}\frac{d_k}{k}\right]=\frac{1}{jk}\,\mathbb{E}\big[d_j\,\mathbb{E}[d_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]\big]=0.$

Par le théorème de Pythagore,

$\boxed{\ \mathbb{E}[X_n^2]=\sum_{k=1}^{n}\frac{\mathbb{E}[d_k^2]}{k^2}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\mathbb{E}\big[(M_k-M_{k-1})^2\big]}{k^2}.\ }$

Comme $|d_k|\le 2K$, on a $\mathbb{E}[d_k^2]\le 4K^2$, d'où

$\mathbb{E}[X_n^2]\le 4K^2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\le 4K^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=4K^2\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{2\pi^2K^2}{3},$

donc

$\boxed{\ \sup_{n\ge1}\mathbb{E}[X_n^2]\le\frac{2\pi^2K^2}{3}<+\infty.\ }$

3.

$(X_n)$ est une martingale bornée dans $L^2$. D'après le théorème de convergence des martingales bornées dans $L^2$ (Doob), il existe $X_\infty\in L^2$ tel que

$\boxed{\ X_n\xrightarrow[n\to\infty]{\ \text{p.s. et } L^2\ }X_\infty.\ }$

4.

Une martingale bornée dans $L^2$ est bornée dans $L^p$ avec $p=2>1$ ; par le critère de de la Vallée-Poussin (avec $\varphi(x)=x^2$), la famille $(X_n)$ est uniformément intégrable. (De manière équivalente, la convergence dans $L^2$ entraîne la convergence dans $L^1$, ce qui caractérise l'uniforme intégrabilité d'une suite convergeant p.s.)

$\boxed{\ (X_n)\text{ est une martingale uniformément intégrable.}\ }$

5.

Notons $Y_k=X_k-X_{k-1}=\dfrac{d_k}{k}$. Pour $j<k$, le calcul du 2. donne $\mathbb{E}[Y_jY_k]=\dfrac{1}{jk}\mathbb{E}[d_jd_k]=0$ ; et $X_0=0$ est orthogonale à tout $Y_k$. Donc

$\boxed{\ X_0,\ (Y_k)_{k\ge1}\ \text{sont deux à deux orthogonales dans } L^2.\ }$

6.

D'après le 2., $\mathbb{E}[X_n^2]=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\mathbb{E}[d_k^2]}{k^2}$ est croissante et majorée par $\dfrac{2\pi^2K^2}{3}$. La série à termes positifs converge donc, et par convergence $L^2$ (question 3),

$\boxed{\ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}\big[(M_k-M_{k-1})^2\big]}{k^2}=\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[X_n^2]=\mathbb{E}[X_\infty^2]<+\infty.\ }$

Interprétation : cette somme est l'énergie totale (la variation quadratique espérée) de la martingale $X$ : $\mathbb{E}[X_\infty^2]=\sum_k \mathbb{E}[Y_k^2]$. Sa finitude est exactement la condition qui garantit la convergence p.s. et $L^2$ de $X_n=\sum_k \dfrac{d_k}{k}$ : en divisant les accroissements bornés $d_k$ par $k$, on rend sommable la série des variances. C'est l'analogue, pour les martingales, du théorème « une série » de Kolmogorov ($\sum_k\text{Var}(Y_k)<\infty\Rightarrow\sum_k Y_k$ converge p.s. et dans $L^2$).