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مسابقة دكتوراه 2025 — Source inconnue — الموضوع 04

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'entrée à la Formation Doctorale — Épreuve de Calcul Stochastique, mouvement brownien standard sur un espace de probabilité filtré.

التمرين 1

Exercice 1 — Espérance conditionnelle et loi d'une somme de mouvement brownien

#brownian-motion#conditional-expectation#gaussian-law

(Bt)t≥0(B_t)_{t\geq 0} mouvement brownien standard muni de sa filtration naturelle.

  1. (3 pts) Calculer E((Bs+Bt2)eBt∣Fs)E\big((B_s + B_t^2)e^{B_t} \mid \mathcal{F}_s\big) pour s≤ts \leq t.
  2. (2 pts) Quelle est la loi de Bt+BsB_t + B_s ?
◀الحل

1.

E((Bs+Bt2)eBt∣Fs)=eBs+t−s2(Bs+(Bs+(t−s))2+(t−s))\boxed{E\big((B_s + B_t^2)e^{B_t}\mid \mathcal{F}_s\big) = e^{B_s + \frac{t-s}{2}}\big(B_s + (B_s + (t-s))^2 + (t-s)\big)}

2.

Bt+Bs∼N(0,3s+t)\boxed{B_t + B_s \sim \mathcal{N}(0, 3s + t)}

التمرين 2

Exercice 2 — Pont brownien : espérance, covariance et convergence L²

#brownian-bridge#ito-isometry#covariance#l2-convergence

Soit Xt=(1−t)∫0t11−u dBuX_t = (1-t)\int_0^t \frac{1}{1-u}\, dB_u pour t∈[0,1[t \in [0,1[.

  1. (3 pts) Calculer E(Xt)E(X_t) et Cov(Xs,Xt)\mathrm{Cov}(X_s, X_t) pour s≤ts \leq t.
  2. (4 pts) Montrer que lim⁡t→1−Xt=0\lim_{t\to 1^-} X_t = 0 en moyenne quadratique.
◀الحل

1.

E(Xt)=0E(X_t) = 0 et Cov(Xs,Xt)=s(1−t)\boxed{\mathrm{Cov}(X_s, X_t) = s(1-t)}.

2.

E(Xt2)=t(1−t)→0E(X_t^2) = t(1-t) \to 0, donc Xt→L20\boxed{X_t \xrightarrow{L^2} 0}.

التمرين 3

Exercice 3 — Processus d'Ornstein-Uhlenbeck : EDS et propriété de martingale

#stochastic-differential-equation#ornstein-uhlenbeck#martingale#ito-formula

On considère dXt=−Xt dt+dBtdX_t = -X_t\, dt + dB_t, X0=0X_0 = 0 (1).

  1. (3 pts) Montrer que (1) admet une unique solution et que Xt=Bt−e−t∫0teuBu duX_t = B_t - e^{-t}\int_0^t e^u B_u\, du en est solution.
  2. (3 pts) Calculer E(Xt∣Fs)E(X_t \mid \mathcal{F}_s) pour s≤ts \leq t.
  3. (2 pts) En déduire que Yt=etXtY_t = e^t X_t est une martingale.
◀الحل

1.

Dérive lipschitzienne : existence/unicité ; la formule d'Itô confirme la solution.

2.

E(Xt∣Fs)=e−(t−s)Xs\boxed{E(X_t\mid \mathcal{F}_s) = e^{-(t-s)}X_s}

3.

Yt=∫0teudBuY_t = \int_0^t e^u dB_u intégrale de Wiener, donc (Yt) martingale\boxed{(Y_t) \text{ martingale}}.