مسابقة دكتوراه 2025 — Source inconnue — الموضوع 21

On considère le problème de Convection-Diffusion suivant :

$$(P):\quad \frac{\partial u}{\partial t}(t,x)+a\frac{\partial u}{\partial x}(t,x)-b\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(t,x)=f(t,x),\quad (t,x)\in]0,T]\times]0,1[,$$

tel que $u(t,0)=g_1(t)$, $u(t,1)=g_2(t)$, , , , et .

On considère le schéma d’approximation par différences finies sur un maillage régulier de pas $h$ en espace et $k$ en temps suivant :

$$(P_h):\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{k}}+a{\displaystyle \frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2h}}-b{\displaystyle \frac{u_{i-1}^n-2u_i^n+u_{i+1}^n}{h^2}}=f(t^n,x_i),i=1,\dots ,N-1,n=0,\dots ,M-1,\\ \end{array}$$

avec $x_i=ih$, $i=0,\ldots,N$, $t^n=nk$, , et , .

1. Quel est l’ordre du schéma $(P_h)$ ?

2. On pose $\lambda=\dfrac{bk}{h^2}$ et , écrire le schéma matriciel du problème . En déduire l’existence et l’unicité de la solution approchée.