📚 الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2017 — Université 20 Août 1955 - Skikda — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

⬇️ تحميل☆ حفظ

Analyse Numérique et Algèbre Linéaire, 29/10/2017

التمرين 1

Erreur d'interpolation affine dans $H^2(0,1)$

#interpolation#éléments finis#Sobolev

Soit (xj)0≤j≤N+1(x_j)_{0\le j\le N+1} une partition de [0,1][0,1], hj=xj+1−xjh_j=x_{j+1}-x_j et h=max⁡jhjh=\max_j h_j. Soit rhr_h l'interpolateur affine nodal.

  1. Vérifier, pour x∈(xj,xj+1)x\in(x_j,x_{j+1}),

(u−rhu)′(x)=u′(x)−u(xj+1)−u(xj)hj.(u-r_hu)'(x)=u'(x)-\frac{u(x_{j+1})-u(x_j)}{h_j}.

  1. Établir une représentation intégrale de l'erreur.

  2. En déduire une estimation ponctuelle.

  3. Montrer

∥(u−rhu)′∥L2(0,1)≤h3∥u′′∥L2(0,1).\|(u-r_hu)'\|_{L^2(0,1)}\le\frac{h}{\sqrt3}\|u''\|_{L^2(0,1)}.

◀الحل

On obtient

(u−rhu)′(x)=1hj[∫xjx(s−xj)u′′(s) ds−∫xxj+1(xj+1−s)u′′(s) ds].(u-r_hu)'(x)=\frac{1}{h_j}\left[\int_{x_j}^x(s-x_j)u''(s)\,ds-\int_x^{x_{j+1}}(x_{j+1}-s)u''(s)\,ds\right].

Par Cauchy-Schwarz,

∣(u−rhu)′(x)∣2≤2hj2((x−xj)3+(xj+1−x)33)∫xjxj+1∣u′′(s)∣2 ds.|(u-r_hu)'(x)|^2\le\frac{2}{h_j^2}\left(\frac{(x-x_j)^3+(x_{j+1}-x)^3}{3}\right)\int_{x_j}^{x_{j+1}}|u''(s)|^2\,ds.

On intègre sur chaque maille puis on somme. Comme hj≤hh_j\le h, on obtient

∥(u−rhu)′∥L2(0,1)≤h3∥u′′∥L2(0,1).\|(u-r_hu)'\|_{L^2(0,1)}\le\frac{h}{\sqrt3}\|u''\|_{L^2(0,1)}.

التمرين 2

Décompositions induites par deux applications linéaires

#projecteurs#somme directe#noyau#image

Soient E,FE,F des espaces vectoriels, f:E→Ff:E\to F et g:F→Eg:F\to E linéaires, avec les relations d'idempotence du sujet. Montrer

E=Im⁡(g)⊕ker⁡(f),E=\operatorname{Im}(g)\oplus\ker(f),

et

F=Im⁡(f)⊕ker⁡(g).F=\operatorname{Im}(f)\oplus\ker(g).

◀الحل

L'opérateur P=gfP=gf est un projecteur sur EE, donc

E=Im⁡(P)⊕ker⁡(P).E=\operatorname{Im}(P)\oplus\ker(P).

Les relations du sujet donnent

\qquad\ker(P)=\ker(f).$$ De même, $Q=fg$ est un projecteur sur $F$, avec $$\operatorname{Im}(Q)=\operatorname{Im}(f), \qquad\ker(Q)=\ker(g).$$ Les deux décompositions annoncées en résultent.