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مسابقة دكتوراه 2019 — Université 20 Août 1955 - Skikda — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès au doctorat 3e cycle LMD 2019/2020, spécialité : Analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Épreuve 1 : Distribution et Analyse fonctionnelle, Université 20 Août 1955 - Skikda, Faculté des Sciences, Département de Mathématiques (LAMAHIS), 2 novembre 2019, durée 1h30.

التمرين 1

Distribution log|x|, valeur principale et partie finie Pf(1/x²)

#distributions#principal-value#hadamard-finite-part#sobolev-spaces#order-of-distribution

Partie I. 1°) Si f(x)=log⁡∣x∣f(x)=\log|x|, montrer que f∈Lloc1(R)f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}). 2°) Montrer que (Tf)′=vp(1x)(T_f)'=\mathrm{vp}\big(\tfrac1x\big). 3°) Si g(x)=Y(x)f(x)g(x)=Y(x)f(x) (YY fonction de Heaviside), montrer que (Tg)′=Pf[Y(x)x](T_g)'=\mathrm{Pf}\big[\tfrac{Y(x)}{x}\big]. 4°) On pose, pour φ∈D(R)\varphi\in D(\mathbb{R}) : (Pf(1/x2),φ)=lim⁡ε→0[∫∣x∣>εφ(x)x2 dx−2φ(0)ε].\big(\mathrm{Pf}(1/x^2),\varphi\big)=\lim_{\varepsilon\to0}\Big[\int_{|x|>\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x^2}\,dx-\frac{2\varphi(0)}{\varepsilon}\Big]. Montrer que Pf(1/x2)\mathrm{Pf}(1/x^2) est la distribution −(vp(1x))′-\big(\mathrm{vp}(\tfrac1x)\big)' et qu'elle est d'ordre 2.

Partie II. On se donne Ω\Omega un ouvert de Rn\mathbb{R}^n. Soit uu un élément de H1(Ω)H^1(\Omega). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : 1°) uu appartient à l'orthogonal de H01(Ω)H^1_0(\Omega). 2°) uu vérifie l'équation −Δu+u=0-\Delta u+u=0 dans D′(Ω)D'(\Omega).

◀الحل

Partie I

1°) Sur tout compact, la seule singularité est en 00 ; ∫01∣log⁡x∣ dx=1<∞\int_0^1|\log x|\,dx=1<\infty. Donc log⁡∣x∣\log|x| est intégrable localement : f∈Lloc1(R)f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}), elle définit une distribution TfT_f.

2°) Pour φ∈D\varphi\in D : ⟨Tf′,φ⟩=−∫Rlog⁡∣x∣ φ′(x) dx=−lim⁡ε→0∫∣x∣>εlog⁡∣x∣ φ′(x) dx.\langle T_f',\varphi\rangle=-\int_{\mathbb{R}}\log|x|\,\varphi'(x)\,dx=-\lim_{\varepsilon\to0}\int_{|x|>\varepsilon}\log|x|\,\varphi'(x)\,dx. Une intégration par parties (les termes de bord en ±ε\pm\varepsilon se compensent car log⁡ε(φ(ε)−φ(−ε))→0\log\varepsilon(\varphi(\varepsilon)-\varphi(-\varepsilon))\to0) donne =lim⁡ε→0∫∣x∣>εφ(x)x dx=⟨vp(1x),φ⟩.=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x}\,dx=\Big\langle \mathrm{vp}\big(\tfrac1x\big),\varphi\Big\rangle. Donc (Tf)′=vp(1/x)\boxed{(T_f)'=\mathrm{vp}(1/x)}.

3°) Avec g=Ylog⁡∣x∣g=Y\log|x|, un calcul analogue avec la coupure en x=ε>0x=\varepsilon>0 seulement fait apparaître le terme correctif de Hadamard, d'où (Tg)′=Pf[Y(x)x].(T_g)'=\mathrm{Pf}\Big[\frac{Y(x)}{x}\Big].

4°) En dérivant vp(1/x)\mathrm{vp}(1/x) : pour φ∈D\varphi\in D, ⟨(vp1x)′,φ⟩=−⟨vp1x,φ′⟩=−lim⁡ε→0∫∣x∣>εφ′(x)x dx.\langle(\mathrm{vp}\tfrac1x)',\varphi\rangle=-\langle\mathrm{vp}\tfrac1x,\varphi'\rangle=-\lim_{\varepsilon\to0}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{\varphi'(x)}{x}\,dx. Une IPP redonne exactement −(Pf(1/x2),φ)-\big(\mathrm{Pf}(1/x^2),\varphi\big), d'où Pf(1/x2)=−(vp(1/x))′.\boxed{\mathrm{Pf}(1/x^2)=-\big(\mathrm{vp}(1/x)\big)'.} Ordre 2 : l'estimation ∣⟨Pf(1/x2),φ⟩∣≤Csup⁡(∣φ∣+∣φ′∣+∣φ′′∣)|\langle\mathrm{Pf}(1/x^2),\varphi\rangle|\le C\sup(|\varphi|+|\varphi'|+|\varphi''|) sur un compact fait intervenir φ′′\varphi'' (Taylor à l'ordre 2 pour compenser la singularité 1/x21/x^2) et pas moins : la distribution est d'ordre exactement 2.

Partie II

H01(Ω)⊥H^1_0(\Omega)^{\perp} est pris pour le produit scalaire de H1H^1 : (u,v)H1=∫Ω(∇u⋅∇v+uv)(u,v)_{H^1}=\int_\Omega(\nabla u\cdot\nabla v+uv).

1⇒21\Rightarrow2 : si u⊥H01u\perp H^1_0, alors pour tout v∈H01(Ω)v\in H^1_0(\Omega), ∫Ω∇u⋅∇v+∫Ωuv=0.\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v+\int_\Omega uv=0. En particulier pour v=φ∈D(Ω)v=\varphi\in D(\Omega), ceci s'écrit ⟨−Δu+u,φ⟩=0\langle-\Delta u+u,\varphi\rangle=0, donc −Δu+u=0-\Delta u+u=0 dans D′(Ω)D'(\Omega).

2⇒12\Rightarrow1 : si −Δu+u=0-\Delta u+u=0 au sens des distributions, la formule de Green (valable par densité de D(Ω)D(\Omega) dans H01(Ω)H^1_0(\Omega)) donne (u,v)H1=0(u,v)_{H^1}=0 pour tout v∈H01(Ω)v\in H^1_0(\Omega), i.e. u∈H01(Ω)⊥u\in H^1_0(\Omega)^{\perp}. u∈H01(Ω)⊥  ⟺  −Δu+u=0 dans D′(Ω).\boxed{u\in H^1_0(\Omega)^{\perp}\iff -\Delta u+u=0\text{ dans }D'(\Omega).}

التمرين 2

Inégalités de Dunkl-Williams dans un espace normé

#normed-spaces#dunkl-williams-inequality#triangle-inequality

Soit (E,∥⋅∥)(E,\|\cdot\|) un espace vectoriel normé réel ou complexe. Démontrer que pour tous u,vu,v non nuls de EE on a les inégalités suivantes : (a)∥u−v∥≥12 max⁡(∥u∥,∥v∥) ∥u∥u∥−v∥v∥∥,\text{(a)}\quad \|u-v\|\ge\frac12\,\max(\|u\|,\|v\|)\,\Big\|\frac{u}{\|u\|}-\frac{v}{\|v\|}\Big\|, (b)∥u−v∥≥14 (∥u∥+∥v∥) ∥u∥u∥−v∥v∥∥.\text{(b)}\quad \|u-v\|\ge\frac14\,(\|u\|+\|v\|)\,\Big\|\frac{u}{\|u\|}-\frac{v}{\|v\|}\Big\|.

◀الحل

Posons a=∥u∥a=\|u\|, b=∥v∥b=\|v\|, et sans perte de généralité a≥b>0a\ge b>0.

Écriture clé

ua−vb=u−va+v(1b−1a)=u−va+a−bab v.\frac{u}{a}-\frac{v}{b}=\frac{u-v}{a}+v\Big(\frac1b-\frac1a\Big)=\frac{u-v}{a}+\frac{a-b}{ab}\,v. En prenant les normes et avec ∥v∥=b\|v\|=b : ∥ua−vb∥≤∥u−v∥a+a−bab⋅b=∥u−v∥a+a−ba.\Big\|\frac{u}{a}-\frac{v}{b}\Big\|\le\frac{\|u-v\|}{a}+\frac{a-b}{ab}\cdot b=\frac{\|u-v\|}{a}+\frac{a-b}{a}. Or a−b=∥u∥−∥v∥≤∥u−v∥a-b=\|u\|-\|v\|\le\|u-v\|, donc ∥ua−vb∥≤∥u−v∥a+∥u−v∥a=2∥u−v∥a=2∥u−v∥max⁡(∥u∥,∥v∥).\Big\|\frac{u}{a}-\frac{v}{b}\Big\|\le\frac{\|u-v\|}{a}+\frac{\|u-v\|}{a}=\frac{2\|u-v\|}{a}=\frac{2\|u-v\|}{\max(\|u\|,\|v\|)}.

(a)

En réarrangeant : ∥u−v∥≥12 max⁡(∥u∥,∥v∥) ∥u∥u∥−v∥v∥∥.\boxed{\|u-v\|\ge\frac12\,\max(\|u\|,\|v\|)\,\Big\|\frac{u}{\|u\|}-\frac{v}{\|v\|}\Big\|.}

(b)

Comme max⁡(∥u∥,∥v∥)≥12(∥u∥+∥v∥)\max(\|u\|,\|v\|)\ge\tfrac12(\|u\|+\|v\|), l'inégalité (a) entraîne immédiatement ∥u−v∥≥12max⁡(∥u∥,∥v∥)∥⋯∥≥14(∥u∥+∥v∥)∥u∥u∥−v∥v∥∥.\|u-v\|\ge\frac12\max(\|u\|,\|v\|)\Big\|\cdots\Big\|\ge\frac14(\|u\|+\|v\|)\Big\|\frac{u}{\|u\|}-\frac{v}{\|v\|}\Big\|. C'est l'inégalité de Dunkl-Williams (la constante 1/41/4 est optimale en général).