مسابقة دكتوراه 2021 — Université 20 Août 1955 - Skikda — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

Musée des Mathématiques Appliquées (LAMAHIS), Concours d'accès au Doctorat 2020-2021, Sh’oubat Ar-Riyadhiyat, Skikda 20 mars 2021, Épreuve 1 : Distributions et Analyse fonctionnelle, Durée 1h30

التمرين 1

Exercice 1 — Distributions tempérées et partie finie de $1/x^2$

#distributions#distributions tempérées#partie finie#valeur principale

Parmi les distributions suivantes : $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\delta_k^{(k)}$ , $\log|x|$ , $\mathrm{vp}\left(\dfrac{1}{x}\right)$ , lesquelles sont tempérées ?
Démontrer que pour toute fonction $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ la limite lorsque $\varepsilon$ tend vers 0 de $\int_{\{|x|\ge \varepsilon\}}\dfrac{\varphi(x)}{x^2}\,dx - 2\dfrac{\varphi(0)}{\varepsilon}$ existe et que ceci définit une distribution (la partie finie de $\dfrac{1}{x^2}$ ) dont on déterminera l'ordre.

La partie finie de Hadamard $\mathrm{Pf}(1/x^2) = -\dfrac{d}{dx}\mathrm{vp}(1/x)$ . La régularisation par soustraction du terme singulier $2\varphi(0)/\varepsilon$ est la méthode standard pour définir des distributions homogènes de degré $-n$ avec $n\ge 2$ . L'ordre exact est lié au nombre de termes du développement de Taylor à soustraire.

◀الحل

• $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_k^{(k)}$ : portée non bornée (le support n'est pas contenu dans un compact) et l'ordre local croît vers $\infty$ . Cette série n'est pas une distribution tempérée (elle n'est même pas une distribution d'ordre fini sur $\mathbb{R}$ tout entier). • $\log|x|$ : c'est une distribution tempérée (fonction localement intégrable, croissance logarithmique). • $\mathrm{vp}(1/x)$ : est tempérée (dérivée distributionnelle de $\log|x|$ ).
Pour $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ à support dans $[-A,A]$ , écrire $\varphi(x) = \varphi(0) + x\varphi'(0) + x^2\psi(x)$ avec $\psi$ bornée (par Taylor avec reste intégral). Alors : $\int_{|x|\ge\varepsilon}\dfrac{\varphi(x)}{x^2}\,dx = \varphi(0)\int_{|x|\ge\varepsilon}\dfrac{dx}{x^2} + \varphi'(0)\int_{|x|\ge\varepsilon}\dfrac{dx}{x} + \int_{|x|\ge\varepsilon}\psi(x)\,dx.$ Le premier terme vaut $\varphi(0)\cdot[2/\varepsilon - 2/A]$ (intégrale sur $\varepsilon\le|x|\le A$ ). Le deuxième est nul par imparité. Le troisième tend vers $\int_{-A}^{A}\psi(x)\,dx$ . Donc $\lim_{\varepsilon\to 0}\left[\int_{|x|\ge\varepsilon}\dfrac{\varphi(x)}{x^2}\,dx - 2\dfrac{\varphi(0)}{\varepsilon}\right] = -\dfrac{2\varphi(0)}{A} + \int_{-A}^{A}\psi(x)\,dx.$ Cette limite existe et dépend linéairement de $\varphi, \varphi'(0), \varphi''(0)$ (via $\psi$ qui intègre l'information des dérivées d'ordre 2 de $\varphi$ ). C'est une distribution d'ordre $\le 2$ . En réalité son ordre exact est $2$ (car elle fait intervenir les dérivées secondes de $\varphi$ via $\psi$ ).

التمرين 2

Exercice 2 — Distribution nulle localement partout est nulle

#distributions#support#propriété locale#partition de l'unité

Soit $T$ une distribution sur $\Omega$ telle que tout point de $\Omega$ admet un voisinage ouvert dans lequel la restriction de $T$ est nulle. Démontrer que $T = 0$ .

Ce résultat exprime que le concept de «support d'une distribution» est bien défini : il existe un plus grand ouvert sur lequel $T=0$ . La preuve utilise la propriété fondamentale de partition de l'unité, qui est le mo teur de «recoller» des propriétés locales en propriétés globales dans le contexte $C^\infty$ .

◀الحل

Soit $\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$ à support $K$ compact. Pour tout $x\in K$ , il existe un voisinage ouvert $U_x\ni x$ sur lequel $T|_{U_x}=0$ . Par compacité de $K$ , on extrait un recouvrement fini $K\subset U_{x_1}\cup\cdots\cup U_{x_N}$ . Prenons une partition de l'unité $(\chi_i)_{1\le i\le N}$ subordonnée à ce recouvrement : $\chi_i\in\mathcal{D}(U_{x_i})$ , $\sum\chi_i = 1$ sur $K$ . Alors $\varphi = \sum \chi_i\varphi$ avec $\chi_i\varphi\in\mathcal{D}(U_{x_i})$ . D'où $\langle T,\varphi\rangle = \sum_{i=1}^N \langle T,\chi_i\varphi\rangle = \sum_{i=1}^N \langle T|_{U_{x_i}},\chi_i\varphi\rangle = 0.$ Donc $T=0$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Une isométrie qui fixe 0 est linéaire (dans un préhilbertien)

#espaces préhilbertiens#isométries#produit scalaire#linéarité

Soit $H$ un espace préhilbertien réel et $T:H\to H$ une isométrie : $\|T(x)-T(y)\| = \|x-y\|$ pour tous $x,y\in H$ , telle que $T(0)=0$ .

Montrer que $T$ conserve le produit scalaire : $\langle T(x)|T(y)\rangle = \langle x|y\rangle$ pour tous $x,y\in H$ .
En déduire que $T$ est linéaire.

Théorème classique : dans un préhilbertien, une isométrie fixant 0 est automatiquement linéaire. Sur un espace de Banach général (Mazur-Ulam), la linéarité est aussi acquise mais la preuve est plus délicate. Clé : dans le cadre préhilbertien, la conservation du produit scalaire découle directement de l'identité de polarisation.

◀الحل

D'après l'isométrie et $T(0)=0$ : $\|T(x)\| = \|T(x)-T(0)\| = \|x\|$ . De même $\|T(y)\| = \|y\|$ . Ensuite $\|T(x)-T(y)\|^2 = \|x-y\|^2$ donne $\|T(x)\|^2 - 2\langle T(x),T(y)\rangle + \|T(y)\|^2 = \|x\|^2 - 2\langle x,y\rangle+\|y\|^2$ . En utilisant $\|Tx\|=\|x\|$ et $\|Ty\|=\|y\|$ : $\langle T(x),T(y)\rangle = \langle x,y\rangle$ .
Pour montrer $T(x+y) = T(x)+T(y)$ , calculons $\|T(x+y)-T(x)-T(y)\|^2$ en développant : $\|T(x+y)\|^2 + \|T(x)\|^2 + \|T(y)\|^2 - 2\langle T(x+y),T(x)\rangle - 2\langle T(x+y),T(y)\rangle + 2\langle T(x),T(y)\rangle.$ Avec la conservation du produit scalaire (partie 1) : $\|x+y\|^2 + \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\langle x+y,x\rangle - 2\langle x+y,y\rangle + 2\langle x,y\rangle$ . Un calcul direct donne : $\|x+y\|^2 = \|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2$ , et $-2\langle x+y,x\rangle - 2\langle x+y,y\rangle = -2\|x\|^2 - 4\langle x,y\rangle - 2\|y\|^2$ . Total : $(\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2) + \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\|x\|^2 - 4\langle x,y\rangle - 2\|y\|^2 + 2\langle x,y\rangle = 0$ . Donc $T(x+y) = T(x)+T(y)$ .

Similairement, pour $\alpha\in\mathbb{R}$ : $\|T(\alpha x)-\alpha T(x)\|^2 = \|T(\alpha x)\|^2 - 2\alpha\langle T(\alpha x),T(x)\rangle + \alpha^2\|T(x)\|^2 = \alpha^2\|x\|^2 - 2\alpha \cdot\alpha\|x\|^2 + \alpha^2\|x\|^2 = 0$ . Donc $T(\alpha x) = \alpha T(x)$ . Combiné avec l'additivité, $T$ est $\mathbb{R}$ -linéaire.