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مسابقة دكتوراه 2017 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la Formation Doctorale, Année universitaire 2017/2018, Doctorat Mathématiques Appliquées, Épreuve d'Analyse Fonctionnelle, Université 8 mai 1945 - Guelma, durée 1h30.

التمرين 1

Interpolation par une forme linéaire bornée et théorème de Banach-Steinhaus

#hahn-banach#dual-space#banach-steinhaus#uniform-boundedness#operator-norm
  1. Soit EE un espace vectoriel normé réel, x1,…,xn∈Ex_1,\dots,x_n\in E et c1,…,cn∈Rc_1,\dots,c_n\in\mathbb{R}. Montrer qu'il existe une forme linéaire continue f∈E′f\in E' telle que f(xi)=cif(x_i)=c_i pour tout i∈{1,…,n}i\in\{1,\dots,n\} et ∥f∥≤ℓ\|f\|\le \ell si et seulement si ∣∑i=1nλici∣≤ℓ ∥∑i=1nλixi∥pour tous λ1,…,λn∈R.\Big|\sum_{i=1}^n\lambda_i c_i\Big|\le \ell\,\Big\|\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\Big\|\qquad\text{pour tous }\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}.
  2. Soit (Tn)(T_n) une suite d'endomorphismes continus d'un espace de Banach EE telle que, pour tout x∈Ex\in E, la suite (Tnx)(T_n x) converge vers une limite notée T(x)T(x). En déduire que TT est linéaire continu et que ∥T∥≤lim inf⁡n∥Tn∥\|T\|\le\liminf_n\|T_n\|.
◀الحل

1) Condition nécessaire et suffisante

(⇒\Rightarrow) Si un tel ff existe, alors pour tous scalaires ∣∑iλici∣=∣f(∑iλixi)∣≤∥f∥ ∥∑iλixi∥≤ℓ ∥∑iλixi∥.\Big|\sum_i\lambda_i c_i\Big|=\Big|f\Big(\sum_i\lambda_i x_i\Big)\Big|\le\|f\|\,\Big\|\sum_i\lambda_i x_i\Big\|\le\ell\,\Big\|\sum_i\lambda_i x_i\Big\|.

(⇐\Leftarrow) Supposons l'inégalité. Sur F=vect(x1,…,xn)F=\mathrm{vect}(x_1,\dots,x_n) définissons g(∑λixi)=∑λicig\big(\sum\lambda_i x_i\big)=\sum\lambda_i c_i. L'inégalité garantit d'abord que gg est bien définie (si ∑λixi=0\sum\lambda_ix_i=0 alors ∣∑λici∣≤ℓ⋅0=0|\sum\lambda_ic_i|\le\ell\cdot0=0), qu'elle est linéaire, et que ∣g(y)∣≤ℓ∥y∥|g(y)|\le\ell\|y\| sur FF, donc ∥g∥F′≤ℓ\|g\|_{F'}\le\ell. Par Hahn-Banach, gg se prolonge en f∈E′f\in E' avec ∥f∥≤ℓ\|f\|\le\ell et f(xi)=g(xi)=cif(x_i)=g(x_i)=c_i. ■\blacksquare

2) Banach-Steinhaus

Linéarité : T(αx+βy)=lim⁡nTn(αx+βy)=αlim⁡Tnx+βlim⁡Tny=αTx+βTyT(\alpha x+\beta y)=\lim_n T_n(\alpha x+\beta y)=\alpha\lim T_nx+\beta\lim T_ny=\alpha Tx+\beta Ty.

Continuité : pour chaque xx, (Tnx)(T_nx) converge donc est bornée : sup⁡n∥Tnx∥<∞\sup_n\|T_nx\|<\infty. Par le théorème de la borne uniforme (Banach-Steinhaus, EE Banach), M:=sup⁡n∥Tn∥<∞M:=\sup_n\|T_n\|<\infty.

Estimation de la norme : pour tout xx et tout nn, ∥Tnx∥≤∥Tn∥ ∥x∥\|T_nx\|\le\|T_n\|\,\|x\|. En passant à la limite inférieure, ∥Tx∥=lim⁡n∥Tnx∥=lim inf⁡n∥Tnx∥≤(lim inf⁡n∥Tn∥)∥x∥.\|Tx\|=\lim_n\|T_nx\|=\liminf_n\|T_nx\|\le\big(\liminf_n\|T_n\|\big)\|x\|. Donc TT est continu et ∥T∥≤lim inf⁡n∥Tn∥.\boxed{\|T\|\le\liminf_n\|T_n\|.}

التمرين 2

Ensemble d'égalité dans Cauchy-Schwarz pour un opérateur entre Hilbert

#hilbert-spaces#adjoint-operator#positive-operator#kernel#operator-norm

Soient EE et FF deux espaces de Hilbert réels et u:E→Fu:E\to F une application linéaire continue non nulle. L'adjoint de uu est noté u∗u^*. On pose ℓ(u)={x∈E: ∥u(x)∥=∥u∥ ∥x∥}.\ell(u)=\{x\in E:\ \|u(x)\|=\|u\|\,\|x\|\}.

  1. Montrer que ℓ(u)\ell(u) est fermé dans EE.
  2. On pose v=∥u∥2 IdE−u∗u:E→Ev=\|u\|^2\,\mathrm{Id}_E-u^*u:E\to E. Montrer que vv est auto-adjoint et positif.
  3. Montrer que ℓ(u)=ker⁡(v)\ell(u)=\ker(v).
  4. Montrer que ℓ(u)\ell(u) est orthogonal au noyau de uu.
  5. Montrer que l'image par uu de ℓ(u)\ell(u) est contenue dans ℓ(u∗)\ell(u^*).
◀الحل

1) Fermeture

L'application x↦∥u(x)∥−∥u∥ ∥x∥x\mapsto\|u(x)\|-\|u\|\,\|x\| est continue (composition de uu continue et de normes). ℓ(u)\ell(u) est l'image réciproque de {0}\{0\} par cette fonction continue, donc fermé.

2) vv auto-adjoint et positif

v∗=∥u∥2Id−(u∗u)∗=∥u∥2Id−u∗u=vv^*=\|u\|^2\mathrm{Id}-(u^*u)^*=\|u\|^2\mathrm{Id}-u^*u=v, donc auto-adjoint. Pour x∈Ex\in E : ⟨vx,x⟩=∥u∥2∥x∥2−⟨u∗u x,x⟩=∥u∥2∥x∥2−∥ux∥2≥0,\langle vx,x\rangle=\|u\|^2\|x\|^2-\langle u^*u\,x,x\rangle=\|u\|^2\|x\|^2-\|u x\|^2\ge0, car ∥ux∥≤∥u∥∥x∥\|ux\|\le\|u\|\|x\|. Donc vv est positif.

3) ℓ(u)=ker⁡v\ell(u)=\ker v

De l'égalité précédente, ⟨vx,x⟩=∥u∥2∥x∥2−∥ux∥2\langle vx,x\rangle=\|u\|^2\|x\|^2-\|ux\|^2. Comme v≥0v\ge0 est auto-adjoint, vx=0  ⟺  ⟨vx,x⟩=0  ⟺  ∥ux∥=∥u∥ ∥x∥  ⟺  x∈ℓ(u).vx=0\iff\langle vx,x\rangle=0\iff\|ux\|=\|u\|\,\|x\|\iff x\in\ell(u). (L'implication ⟨vx,x⟩=0⇒vx=0\langle vx,x\rangle=0\Rightarrow vx=0 vient de v=w∗wv=w^*w avec... plus simplement : vv positif auto-adjoint admet une racine v1/2v^{1/2}, et ⟨vx,x⟩=∥v1/2x∥2=0⇒v1/2x=0⇒vx=0\langle vx,x\rangle=\|v^{1/2}x\|^2=0\Rightarrow v^{1/2}x=0\Rightarrow vx=0.) Donc ℓ(u)=ker⁡v\boxed{\ell(u)=\ker v}, qui est en particulier un sous-espace fermé.

4) ℓ(u)⊥ker⁡u\ell(u)\perp\ker u

Soit x∈ℓ(u)x\in\ell(u) et z∈ker⁡uz\in\ker u. Comme ℓ(u)=ker⁡v\ell(u)=\ker v est un sous-espace, pour tout tt : x+tzx+tz... utilisons plutôt : x∈ker⁡vx\in\ker v signifie u∗ux=∥u∥2xu^*ux=\|u\|^2x. Alors ⟨x,z⟩=1∥u∥2⟨u∗u x,z⟩=1∥u∥2⟨ux,uz⟩=0(car uz=0).\langle x,z\rangle=\frac{1}{\|u\|^2}\langle u^*u\,x,z\rangle=\frac{1}{\|u\|^2}\langle ux,uz\rangle=0\quad(\text{car }uz=0). Donc ℓ(u)⊥ker⁡u\boxed{\ell(u)\perp\ker u}.

5) u(ℓ(u))⊂ℓ(u∗)u(\ell(u))\subset\ell(u^*)

Rappelons ∥u∗∥=∥u∥\|u^*\|=\|u\|. Soit x∈ℓ(u)x\in\ell(u), i.e. u∗ux=∥u∥2xu^*ux=\|u\|^2x et ∥ux∥=∥u∥∥x∥\|ux\|=\|u\|\|x\|. Posons y=uxy=ux. Alors u∗y=u∗ux=∥u∥2x ⇒ ∥u∗y∥=∥u∥2∥x∥=∥u∥ ∥ux∥=∥u∥ ∥y∥=∥u∗∥ ∥y∥.u^*y=u^*ux=\|u\|^2x\ \Rightarrow\ \|u^*y\|=\|u\|^2\|x\|=\|u\|\,\|ux\|=\|u\|\,\|y\|=\|u^*\|\,\|y\|. Donc y=ux∈ℓ(u∗)y=ux\in\ell(u^*), c'est-à-dire u(ℓ(u))⊂ℓ(u∗)\boxed{u(\ell(u))\subset\ell(u^*)}.

التمرين 3

Bases biorthogonales et perturbation de Paley-Wiener d'une base hilbertienne

#hilbert-basis#biorthogonal-system#riesz-basis#paley-wiener#neumann-series#bounded-invertible

Soient deux suites (fn)n∈N(f_n)_{n\in\mathbb{N}} et (gn)n∈N(g_n)_{n\in\mathbb{N}} d'un espace de Hilbert HH vérifiant ⟨fn,gm⟩=0\langle f_n,g_m\rangle=0 pour n≠mn\neq m et ⟨fn,gn⟩=1\langle f_n,g_n\rangle=1. On suppose que ces deux suites sont complètes dans HH (le sous-espace engendré par les fnf_n, ainsi que celui engendré par les gng_n, est dense dans HH).

  1. Supposons que pour f∈Hf\in H la série ∑n⟨f,gn⟩fn\sum_{n}\langle f,g_n\rangle f_n est convergente. Montrer qu'alors f=∑n⟨f,gn⟩fnf=\sum_n\langle f,g_n\rangle f_n.
  2. Soient (φn)n∈N(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} une base hilbertienne de HH et (fn)n∈N(f_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite de HH telle qu'il existe θ∈[0,1[\theta\in[0,1[ pour lequel ∥∑nan(φn−fn)∥2≤θ2∑n∣an∣2\Big\|\sum_n a_n(\varphi_n-f_n)\Big\|^2\le\theta^2\sum_n|a_n|^2 pour toute suite (an)(a_n) de scalaires à support fini. Montrer que : (a) pour tout f∈Hf\in H, la série ∑n⟨f,φn⟩(φn−fn)\sum_n\langle f,\varphi_n\rangle(\varphi_n-f_n) est convergente ; (b) sa somme KfKf vérifie ∥Kf∥≤θ∥f∥\|Kf\|\le\theta\|f\| ; (c) K:H→HK:H\to H est linéaire continu de norme ≤θ\le\theta, et son adjoint K∗K^* est de norme ≤θ\le\theta.
  3. Soit l'opérateur T=Id−KT=\mathrm{Id}-K, inversible, d'inverse T−1=∑n≥0Kn=Id+K+K2+⋯T^{-1}=\sum_{n\ge0}K^n=\mathrm{Id}+K+K^2+\cdots. Pour tous f,g∈Hf,g\in H, montrer que (1−θ)∥f∥≤∥Tf∥≤(1+θ)∥f∥,(1−θ)∥T−1g∥≤∥g∥≤(1+θ)∥T−1g∥.(1-\theta)\|f\|\le\|Tf\|\le(1+\theta)\|f\|,\qquad (1-\theta)\|T^{-1}g\|\le\|g\|\le(1+\theta)\|T^{-1}g\|.
◀الحل

1) Reconstruction biorthogonale

Supposons S:=∑n⟨f,gn⟩fnS:=\sum_n\langle f,g_n\rangle f_n convergente. Pour tout mm, par continuité du produit scalaire et biorthogonalité ⟨fn,gm⟩=δnm\langle f_n,g_m\rangle=\delta_{nm} : ⟨S,gm⟩=∑n⟨f,gn⟩⟨fn,gm⟩=⟨f,gm⟩.\langle S,g_m\rangle=\sum_n\langle f,g_n\rangle\langle f_n,g_m\rangle=\langle f,g_m\rangle. Donc ⟨f−S,gm⟩=0\langle f-S,g_m\rangle=0 pour tout mm. Comme (gm)(g_m) est complète (totale) dans HH, cela impose f−S=0f-S=0, soit f=∑n⟨f,gn⟩fn.\boxed{f=\sum_n\langle f,g_n\rangle f_n.}

2)(a)(b) Convergence et estimation

Pour f∈Hf\in H, posons an=⟨f,φn⟩a_n=\langle f,\varphi_n\rangle ; par Parseval ∑n∣an∣2=∥f∥2<∞\sum_n|a_n|^2=\|f\|^2<\infty. Pour une somme partielle finie JJ, l'hypothèse donne ∥∑n∈Jan(φn−fn)∥2≤θ2∑n∈J∣an∣2.\Big\|\sum_{n\in J}a_n(\varphi_n-f_n)\Big\|^2\le\theta^2\sum_{n\in J}|a_n|^2. Le critère de Cauchy pour ∑an(φn−fn)\sum a_n(\varphi_n-f_n) se ramène à celui de ∑∣an∣2\sum|a_n|^2, qui converge : la série ∑n⟨f,φn⟩(φn−fn)\sum_n\langle f,\varphi_n\rangle(\varphi_n-f_n) converge dans HH. En passant à la limite, ∥Kf∥2=∥∑nan(φn−fn)∥2≤θ2∑n∣an∣2=θ2∥f∥2,\|Kf\|^2=\Big\|\sum_n a_n(\varphi_n-f_n)\Big\|^2\le\theta^2\sum_n|a_n|^2=\theta^2\|f\|^2, d'où ∥Kf∥≤θ∥f∥\|Kf\|\le\theta\|f\|.

2)(c) KK continu, ∥K∥≤θ\|K\|\le\theta, ∥K∗∥≤θ\|K^*\|\le\theta

KK est linéaire (linéarité de f↦⟨f,φn⟩f\mapsto\langle f,\varphi_n\rangle) et ∥Kf∥≤θ∥f∥\|Kf\|\le\theta\|f\| donne ∥K∥≤θ<1\|K\|\le\theta<1. Enfin ∥K∗∥=∥K∥≤θ\|K^*\|=\|K\|\le\theta (l'adjoint d'un opérateur borné a même norme).

3) Encadrement de T=Id−KT=\mathrm{Id}-K et de T−1T^{-1}

Comme ∥K∥≤θ<1\|K\|\le\theta<1, la série de Neumann ∑n≥0Kn\sum_{n\ge0}K^n converge et T=Id−KT=\mathrm{Id}-K est inversible, T−1=∑n≥0KnT^{-1}=\sum_{n\ge0}K^n.

Encadrement de TfTf : par inégalité triangulaire inverse, ∥Tf∥=∥f−Kf∥ ⇒ ∣ ∥f∥−∥Kf∥ ∣≤∥Tf∥≤∥f∥+∥Kf∥,\|Tf\|=\|f-Kf\|\ \Rightarrow\ \big|\,\|f\|-\|Kf\|\,\big|\le\|Tf\|\le\|f\|+\|Kf\|, et comme ∥Kf∥≤θ∥f∥\|Kf\|\le\theta\|f\| : (1−θ)∥f∥≤∥Tf∥≤(1+θ)∥f∥.\boxed{(1-\theta)\|f\|\le\|Tf\|\le(1+\theta)\|f\|.}

Encadrement de T−1T^{-1} : en appliquant l'encadrement précédent à f=T−1gf=T^{-1}g (donc Tf=gTf=g) : (1−θ)∥T−1g∥≤∥g∥≤(1+θ)∥T−1g∥.(1-\theta)\|T^{-1}g\|\le\|g\|\le(1+\theta)\|T^{-1}g\|. Cela montre que (fn)=(Tφn)(f_n)=(T\varphi_n) est une base de Riesz de HH (théorème de stabilité de Paley-Wiener).