مسابقة دكتوراه 2023 — Université 8 Mai 1945

التمرين 1

Densité $f_n$ et convergence vers la loi uniforme

#probabilités#densité#fonction de répartition#convergence en loi

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on définit : $f_n(x) = \begin{cases} 1 - \cos(2\pi n x) & \text{si } 0 \le x \le 1, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$

Vérifier que $f_n$ est une densité de probabilité.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , calculer la fonction de répartition $F_n$ associée à $f_n$ .
Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $F_n(x)$ tend vers la fonction de répartition de la loi uniforme sur $[0,1]$ .
Pour $x \in \mathbb{R}$ , est-ce que $f_n(x)$ converge lorsque $n$ tend vers l'infini ? Conclure.

Intégrer sur une période entière annule le terme en $\sin$ ; c'est un bon exemple où la convergence des fonctions de répartition n'entraîne pas celle des densités.

◀الحل

$f_n(x)\ge 0$ car $1-\cos(2\pi n x)\ge 0$ . De plus $\int_0^1 f_n(x)\,dx = \Big[x - \dfrac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}\Big]_0^1 = 1-0=1$ (car $\sin(2\pi n)=\sin(0)=0$ ). Donc $f_n$ est une densité de probabilité.
Pour $x<0$ , $F_n(x)=0$ . Pour $0\le x\le 1$ , $F_n(x)=\displaystyle\int_0^x(1-\cos(2\pi n t))\,dt = x-\dfrac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}$ . Pour $x>1$ , $F_n(x)=1$ .
Comme $\left|\dfrac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}\right|\le\dfrac{1}{2\pi n}\to 0$ , on a $F_n(x)\to x$ sur $[0,1]$ (et $0$ , $1$ ailleurs), qui est la fonction de répartition de $\mathcal U([0,1])$ .
$f_n(x)=1-\cos(2\pi n x)$ oscille entre $0$ et $2$ pour $x$ fixé ( $\cos(2\pi n x)$ n'a pas de limite en général). Donc $f_n(x)$ ne converge pas. Conclusion : $F_n\to F$ (convergence en loi) n'implique pas la convergence ponctuelle des densités.

التمرين 2

Variance du produit de deux variables indépendantes et lois de Poisson

#probabilités#variance#indépendance#loi de Poisson

Considérons deux variables $X$ et $Y$ indépendantes ayant des espérances mathématiques notées $m_X$ et $m_Y$ et des variances $\sigma_X^2$ et $\sigma_Y^2$ .

Exprimer en fonction de ces paramètres la variance de la variable produit $Z=X\cdot Y$ .
Dans quel cas cette variance est-elle égale au produit des variances $\sigma_X^2\sigma_Y^2$ ?
Utiliser les résultats précédents pour prouver que le produit de deux lois de Poisson indépendantes n'est pas une loi de Poisson.

Sachant que si $X\hookrightarrow \mathcal P(\lambda)$ , alors $m_X=\sigma_X^2=\lambda$ .

Le test clé pour repérer une non-Poisson est de comparer $\mathrm{Var}(Z)$ à $E(Z)$ : toute loi de Poisson doit vérifier $\mathrm{Var}=E$ .

◀الحل

Par indépendance, $E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+m_X^2)(\sigma_Y^2+m_Y^2)$ et $E[XY]=m_Xm_Y$ . Donc $\mathrm{Var}(Z)=(\sigma_X^2+m_X^2)(\sigma_Y^2+m_Y^2)-m_X^2m_Y^2=\sigma_X^2\sigma_Y^2+m_X^2\sigma_Y^2+m_Y^2\sigma_X^2.$
$\mathrm{Var}(Z)=\sigma_X^2\sigma_Y^2$ si et seulement si $m_X^2\sigma_Y^2+m_Y^2\sigma_X^2=0$ , c'est-à-dire $m_X=m_Y=0$ (variables centrées).
Pour $X\sim\mathcal P(\lambda_X)$ , $Y\sim\mathcal P(\lambda_Y)$ indépendantes : $m_X=\sigma_X^2=\lambda_X$ , $m_Y=\sigma_Y^2=\lambda_Y$ . Alors $E(Z)=\lambda_X\lambda_Y$ et $\mathrm{Var}(Z)=\lambda_X\lambda_Y+\lambda_X^2\lambda_Y+\lambda_Y^2\lambda_X>\lambda_X\lambda_Y=E(Z)$ (dès que $\lambda_X,\lambda_Y>0$ ). Or une loi de Poisson vérifie $\mathrm{Var}=E$ . Donc $Z=XY$ n'est pas de loi de Poisson.

التمرين 3

Perturbation d'une densité de probabilité

#probabilités#densité#mélange de lois#loi normale

Soit $f$ une fonction de densité. On définit $f_{\varepsilon,a}(x) = (1-\varepsilon)f(x) + \frac{\varepsilon}{a}f\left(\frac{x-1}{a}\right)$ une perturbation de $f$ , où $\varepsilon>0$ et $a>1$ sont deux constantes réelles.

Montrer que $f_{\varepsilon,a}$ est une fonction de densité.
Soit $f$ une fonction de densité d'une distribution normale $X$ avec une espérance $0$ et variance $1$ . Calculer l'espérance $E(Y)$ et la variance $\mathrm{var}(Y)$ où $Y\sim f_{\varepsilon,a}$ .
Supposons que $f$ est symétrique par rapport à l'origine. Est-ce qu'on peut conclure que l'espérance $E(X)=0$ ? Justifier votre réponse.

Voir $f_{\varepsilon,a}$ comme un mélange (loi de $Z$ avec proba $1-\varepsilon$ , loi de $1+aZ$ avec proba $\varepsilon$ ) simplifie grandement les calculs de moments. Pour la symétrie, penser au contre-exemple de Cauchy.

◀الحل

$f_{\varepsilon,a}\ge 0$ car $f\ge 0$ et $0<\varepsilon<1$ . En posant $u=(x-1)/a$ : $\int \frac{\varepsilon}{a}f\left(\frac{x-1}{a}\right)dx=\varepsilon\int f(u)\,du=\varepsilon$ . Donc $\int f_{\varepsilon,a}=(1-\varepsilon)\cdot 1+\varepsilon=1$ : c'est bien une densité.
$f_{\varepsilon,a}$ est la densité d'un mélange : avec probabilité $1-\varepsilon$ , $Y=Z\sim\mathcal N(0,1)$ ; avec probabilité $\varepsilon$ , $Y=1+aZ$ , $Z\sim\mathcal N(0,1)$ . $E(Y)=(1-\varepsilon)\cdot 0+\varepsilon\cdot 1=\varepsilon$ . $E(Y^2)=(1-\varepsilon)\cdot 1+\varepsilon\,(1+a^2)=1+\varepsilon a^2$ . $\mathrm{var}(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2=1+\varepsilon a^2-\varepsilon^2$ .
Non, pas nécessairement. Si $f$ est symétrique ( $f(-x)=f(x)$ ), $\int xf(x)\,dx$ est l'intégrale d'une fonction impaire sur un domaine symétrique, donc vaut $0$ à condition que l'intégrale $\int|x|f(x)\,dx$ converge (que $E(X)$ existe). Si ce n'est pas le cas (par exemple la loi de Cauchy, symétrique mais sans espérance définie), on ne peut pas conclure que $E(X)=0$ .