مسابقة دكتوراه 2023 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 2سا

Concours d'accès à la formation doctorale de 3ème cycle (LMD) 2022/2023, Spécialité : Probabilités et équations différentielles stochastiques, Épreuve écrite 2 : Modélisation stochastique, Université 8 Mai 1945, Faculté de Mathématiques, de l'Informatique et des Sciences de la Matière, Département de Mathématiques, 21 janvier 2023, durée 2h00mn.

التمرين 1

Exercice 1 — Couple aléatoire de densité $f_{X,Y}=4y(x-y)e^{-(x+y)}$ : marginale, conditionnelle, espérance

#joint-density#conditional-density#conditional-expectation#marginal-density

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires dont la loi admet la densité conjointe suivante :

$f_{X,Y}(x, y) = 4y(x - y)\exp\{-(x + y)\}\mathbf{1}_D(x, y),$ $D = \{(x, y) : 0 \leq y \leq x\}.$

Déterminer la densité marginale de $Y$ , puis la densité de la loi conditionnelle de $X$ sachant $Y$ .
Calculer $E[X|Y]$ .
Calculer $P(X \lt 1|Y = y)$ , selon les cas : $y \leq 1$ et $y \gt 1$ .

◀الحل

1. Marginale de Y et conditionnelle de X|Y

$f_Y(y) = \int_y^\infty 4y(x-y)e^{-(x+y)}dx$ . Changement $u=x-y$ : $\int_0^\infty 4y \cdot u \cdot e^{-(u+2y)}du = 4ye^{-2y}\Gamma(2) = 4ye^{-2y}$ . Donc $Y \sim \Gamma(2, 1/2)$ .

Conditionnelle : $f_{X|Y}(x|y) = \frac{4y(x-y)e^{-(x+y)}}{4ye^{-2y}} = (x-y)e^{-(x-y)}$ pour $x \geq y$ . Donc $X|Y=y \sim y + \Gamma(2,1)$ .

2. E[X|Y]

$E[X|Y=y] = y + 2$ (espérance de $\Gamma(2,1)$ vaut 2).

$\boxed{E[X|Y] = Y + 2}$

3. P(X < 1 | Y = y)

Si $y \gt 1$ : $P(X \lt 1|Y=y) = 0$ . Si $y \leq 1$ : $P(X \lt 1|Y=y) = \int_y^1 (x-y)e^{-(x-y)}dx$ . Posons $u=x-y$ : $\int_0^{1-y} ue^{-u}du = 1-(1+(1-y))e^{-(1-y)} = 1-(2-y)e^{-(1-y)}$ .

$\boxed{P(X \lt 1|Y=y) = \begin{cases}1-(2-y)e^{-(1-y)} & y \leq 1 \\\\ 0 & y \gt 1\end{cases}}$

التمرين 2

Exercice 2 — EDS : processus $Y_t = tB_t$, formule d'Itô, espérance, covariance

#stochastic-differential-equations#ito-formula#brownian-motion#covariance

Soient $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}, (\mathcal{F}_t)_{t\geq 0})$ un espace probabilisé filtré, et $(B_t)_{t\geq 0}$ un $(\mathcal{F}_t)$ -mouvement brownien. On définit le processus $Y_t = tB_t$ .

Calculer $dY_t$ .
Calculer l'espérance de $Y_t$ .
Calculer $E(Y_t Y_s)$ .

◀الحل

1.

Par la formule d'Itô appliquée à $f(t,x) = tx$ : $\boxed{dY_t = B_t\,dt + t\,dB_t}$

2.

$E[Y_t] = t \cdot E[B_t] = 0$ .

3.

Pour $s \leq t$ : $E[Y_tY_s] = ts\,E[B_tB_s] = ts \cdot s = ts^2$ .

$\boxed{E[Y_tY_s] = ts\min(t,s)}$

التمرين 3

Exercice 3 — Coefficient de sécurité, sinistres géométriques et exponentiels, charge totale

#geometric-distribution#exponential-distribution#compound-sum#actuarial-science

Soit la formule du coefficient de sécurité : $\beta = \frac{K + np\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ .

On suppose qu'un risque peut être modélisé par un nombre de sinistres $N$ obéissant à la loi : $P(N=k) = p(1-p)^k$ , $0 \lt p \lt 1$ . Les montants de sinistres $Y$ ont la densité : $f(y) = \lambda\exp(-\lambda y)$ , $y \gt 0$ .

Quels sont l'espérance et la variance de $N$ ? Même question pour $Y$ ?
En déduire l'espérance et la variance de $X = \sum_{i=1}^N Y_i$ .
Déterminer les paramètres $p$ et $\lambda$ pour que $E(N) = 0.1$ et $E(Y) = 9750$ . Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .
Quelles conditions sur $n$ pour que $\beta \geq 4$ , avec $K = 500000$ DZD, $\sigma = 4468$ , $\rho\mu = 145$ ?

◀الحل

1.

$N$ suit une loi géométrique (à partir de 0) : $E[N] = (1-p)/p$ , $\text{Var}(N) = (1-p)/p^2$ . $Y \sim \mathcal{E}(\lambda)$ : $E[Y] = 1/\lambda$ , $\text{Var}(Y) = 1/\lambda^2$ .

2. Formule de Wald

$E[X] = E[N]\cdot E[Y] = \frac{1-p}{p\lambda}$ . $\text{Var}(X) = E[N]\text{Var}(Y) + \text{Var}(N)(E[Y])^2 = \frac{(1-p)(1+p)}{p^2\lambda^2}$ .

3. Avec E(N)=0.1, E(Y)=9750

$E[N] = (1-p)/p = 0.1 \Rightarrow p = 10/11$ . $E[Y] = 1/\lambda = 9750 \Rightarrow \lambda = 1/9750$ . $E[X] = 0.1 \times 9750 = 975$ . $\text{Var}(X) \approx 0.1 \times 9750^2 \times (1+1/0.909) \approx 10{,}226{,}250$ .

4. Condition sur n

$\beta \geq 4$ : $K + n\rho\mu \geq 4\sigma\sqrt{n}$ . $500000 + 145n \geq 17872\sqrt{n}$ . Posant $u=\sqrt{n}$ : $145u^2 - 17872u + 500000 \geq 0$ . $\Delta = 17872^2 - 4\times145\times500000 \approx 29{,}410{,}000$ , $\sqrt{\Delta} \approx 5423$ . $u \leq 42.9$ ou $u \geq 80.3$ , donc $n \leq 1840$ ou $n \geq 6450$ .