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مسابقة دكتوراه 2023 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 2سا

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Concours d'accès à la formation doctorale de 3ème cycle (LMD) 2022/2023, Spécialité : Probabilités et équations différentielles stochastiques, Épreuve écrite 2 : Modélisation stochastique, Université 8 Mai 1945 - Guelma, Faculté de Mathématiques, de l'Informatique et des Sciences de la Matière, Département de Mathématiques, 21 janvier 2023, durée 2h00mn.

التمرين 1

Exercice 1 — Couple aléatoire : densité marginale, conditionnelle et probabilité conditionnelle

#joint-density#marginal-density#conditional-density#gamma-distribution

Soit (X,Y)(X,Y) un couple de variables aléatoires dont la loi admet la densité conjointe suivante :

fX,Y(x,y)=4y(x−y)exp⁡{−(x+y)} 1D(x,y),D={(x,y):0≤y≤x}.f_{X,Y}(x,y) = 4y(x-y)\exp\{-(x+y)\}\,\mathbf{1}_D(x,y), \quad D = \{(x,y) : 0 \leq y \leq x\}.

  1. Déterminer la densité marginale de YY, puis la densité de la loi conditionnelle de XX sachant YY.
  2. Calculer E[X∣Y]E[X|Y].
  3. Calculer P(X<1∣Y=y)P(X \lt 1 | Y = y), selon les cas : y≤1y \leq 1 et y>1y \gt 1.
◀الحل

1. Densité marginale de Y

Pour y≥0y \geq 0 : fY(y)=∫y∞4y(x−y)e−(x+y)dx=4ye−y∫y∞(x−y)e−xdxf_Y(y) = \int_y^\infty 4y(x-y)e^{-(x+y)}dx = 4ye^{-y}\int_y^\infty (x-y)e^{-x}dx

Avec le changement u=x−yu = x-y : ∫0∞ue−(u+y)du=e−yΓ(2)=e−y\int_0^\infty ue^{-(u+y)}du = e^{-y}\Gamma(2) = e^{-y}.

fY(y)=4ye−2y,y≥0(Y∼Γ(2,2))\boxed{f_Y(y) = 4ye^{-2y}, \quad y \geq 0} \quad (Y \sim \Gamma(2, 2))

Densité conditionnelle : fX∣Y(x∣y)=4y(x−y)e−(x+y)4ye−2y=(x−y)e−(x−y),x≥yf_{X|Y}(x|y) = \frac{4y(x-y)e^{-(x+y)}}{4ye^{-2y}} = (x-y)e^{-(x-y)}, \quad x \geq y

Donc X−y∣Y=y∼Γ(2,1)X-y|Y=y \sim \Gamma(2,1), soit X∣Y=y∼y+Γ(2,1)X|Y=y \sim y + \Gamma(2,1).

2. Espérance conditionnelle

E[X−y∣Y=y]=2E[X-y|Y=y] = 2 (espérance de Γ(2,1)\Gamma(2,1)), donc :

E[X∣Y=y]=y+2,E[X∣Y]=Y+2\boxed{E[X|Y=y] = y + 2, \quad E[X|Y] = Y + 2}

3. Probabilité conditionnelle

Pour u=x−yu = x - y, P(X<1∣Y=y)=P(X−y<1−y∣Y=y)P(X \lt 1|Y=y) = P(X-y \lt 1-y|Y=y).

Si y>1y \gt 1 : 1−y<0≤X−y1-y \lt 0 \leq X-y, donc P(X<1∣Y=y)=0P(X \lt 1|Y=y) = \boxed{0}.

Si y≤1y \leq 1 : P(X<1∣Y=y)=∫01−yue−udu=1−(2−y)e−(1−y)P(X \lt 1|Y=y) = \int_0^{1-y} ue^{-u}du = 1 - (2-y)e^{-(1-y)}.

P(X<1∣Y=y)=1−(2−y)e−(1−y),y≤1\boxed{P(X \lt 1|Y=y) = 1 - (2-y)e^{-(1-y)}, \quad y \leq 1}

التمرين 2

Exercice 2 — Processus $Y_t = tB_t$ : différentielle d'Itô, espérance et covariance

#ito-formula#brownian-motion#stochastic-process#covariance

Soient (Ω,A,P,(Ft)t≥0)(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}, (\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}) un espace probabilisé filtré, et (Bt)t≥0(B_t)_{t\geq 0} un (Ft)(\mathcal{F}_t)-mouvement brownien défini sur cet espace. On définit le processus Yt=tBtY_t = tB_t.

  1. Calculer dYtdY_t.
  2. Calculer l'espérance de YtY_t.
  3. Calculer E(YtYs)E(Y_t Y_s).
◀الحل

1. Différentielle d'Itô

Appliquons la formule d'Itô à Yt=f(t,Bt)Y_t = f(t, B_t) avec f(t,x)=txf(t,x) = tx : ∂f∂t=Bt\frac{\partial f}{\partial t} = B_t, ∂f∂x=t\frac{\partial f}{\partial x} = t, ∂2f∂x2=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0.

dYt=Bt dt+t dBt\boxed{dY_t = B_t\,dt + t\,dB_t}

2. Espérance

Yt=tBtY_t = tB_t, et E[Bt]=0E[B_t] = 0 pour tout t≥0t \geq 0, donc :

E[Yt]=t⋅E[Bt]=0\boxed{E[Y_t] = t \cdot E[B_t] = 0}

3. Covariance

E[YtYs]=E[tBt⋅sBs]=ts E[BtBs]E[Y_t Y_s] = E[tB_t \cdot sB_s] = ts\,E[B_t B_s].

Pour le mouvement brownien : E[BtBs]=min⁡(t,s)E[B_t B_s] = \min(t,s), donc :

E[YtYs]=ts min⁡(t,s)\boxed{E[Y_t Y_s] = ts\,\min(t,s)}

التمرين 3

Exercice 3 — Coefficient de sécurité : sinistres géométriques et montants exponentiels

#geometric-distribution#exponential-distribution#compound-sum#actuarial-science#safety-coefficient

Soit la formule du coefficient de sécurité :

β=K+nρμσn.\beta = \frac{K + n\rho\mu}{\sigma\sqrt{n}}.

On suppose qu'un risque peut être modélisé par un nombre de sinistres NN obéissant à la loi : ∀k∈N,P(N=k)=p(1−p)k,0<p<1.\forall k \in \mathbb{N}, \quad P(N = k) = p(1-p)^k, \quad 0 \lt p \lt 1.

Par ailleurs, les montants de sinistres YY ont la densité de probabilité : f(y)=λexp⁡(−λy),y>0,λ>0.f(y) = \lambda\exp(-\lambda y), \quad y \gt 0, \lambda \gt 0.

  1. Quels sont l'espérance et la variance de NN ? Même question pour YY ?
  2. En déduire l'expression de l'espérance mathématique et de la variance de X=∑i=1NYiX = \sum_{i=1}^N Y_i, où XX représente la charge totale des sinistres.
  3. Déterminer les valeurs des paramètres pp et λ\lambda pour que E(N)=0.1E(N) = 0.1 et E(Y)=9750E(Y) = 9750. Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).
  4. Quelles conditions doivent être vérifiées par le nombre nn de contrats pour que le coefficient de sécurité β\beta soit au moins égal à 4, lorsque le capital K=500000K = 500000 DZD, σ=4468\sigma = 4468 et ρμ=145\rho\mu = 145 ?
◀الحل

1. Moments de N et Y

NN loi géométrique : E[N]=(1−p)/pE[N] = (1-p)/p, Var(N)=(1−p)/p2\text{Var}(N) = (1-p)/p^2.

YY loi exponentielle : E[Y]=1/λE[Y] = 1/\lambda, Var(Y)=1/λ2\text{Var}(Y) = 1/\lambda^2.

2. Moments de X=∑i=1NYiX = \sum_{i=1}^N Y_i

Par la formule de la variance totale : E[X]=E[N]⋅E[Y]=1−ppλE[X] = E[N] \cdot E[Y] = \frac{1-p}{p\lambda}

Var(X)=E[N] Var(Y)+Var(N) (E[Y])2=1−ppλ2+1−pp2λ2=(1−p)(1+p)p2λ2\text{Var}(X) = E[N]\,\text{Var}(Y) + \text{Var}(N)\,(E[Y])^2 = \frac{1-p}{p\lambda^2} + \frac{1-p}{p^2\lambda^2} = \frac{(1-p)(1+p)}{p^2\lambda^2}

3. Paramètres spécifiques

E[N]=(1−p)/p=0.1⇒p=10/11E[N] = (1-p)/p = 0.1 \Rightarrow p = 10/11. E[Y]=1/λ=9750⇒λ=1/9750E[Y] = 1/\lambda = 9750 \Rightarrow \lambda = 1/9750.

E[X]=0.1×9750=975E[X] = 0.1 \times 9750 = \boxed{975}.

Var(X)=0.21×97502≈19,963,125⇒σX=97500.21≈4468\text{Var}(X) = 0.21 \times 9750^2 \approx 19{,}963{,}125 \Rightarrow \sigma_X = 9750\sqrt{0.21} \approx 4468. ✓

4. Condition sur nn

β≥4\beta \geq 4 : 500000+145n4468n≥4\frac{500000 + 145n}{4468\sqrt{n}} \geq 4

Soit u=nu = \sqrt{n} : 500000+145u2≥17872u500000 + 145u^2 \geq 17872u, i.e., 145u2−17872u+500000≥0145u^2 - 17872u + 500000 \geq 0.

Δ=178722−4(145)(500000)≈29,408,000\Delta = 17872^2 - 4(145)(500000) \approx 29{,}408{,}000, Δ≈5423\sqrt{\Delta} \approx 5423. u1,2=(17872±5423)/290≈42.9u_{1,2} = (17872 \pm 5423)/290 \approx 42.9 ou 80.380.3.

n≤1840oun≥6448\boxed{n \leq 1840 \quad \text{ou} \quad n \geq 6448}