مسابقة دكتوراه 2016 — جامعة بجاية — الموضوع 01

Partie I :

On munit $E = \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$ de la loi $\star$ définie par :

$$\forall (a_1, b_1), (a_2, b_2) \in E : \quad (a_1, b_1) \star (a_2, b_2) = (a_1 a_2,\ a_1 b_2 + b_1).$$

1. Montrer que $(E, \star)$ est un groupe. — Ce groupe est-il abélien ? Justifier.
2. Soit $H = \{(1, b),\ b \in \mathbb{R}\}$. (a) Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(E, \star)$. (b) Montrer que $(H, \star)$ est isomorphe à $(\mathbb{R}, +)$.

Partie II :

Pour tout $a \in \mathbb{R}^*$ et tout $b \in \mathbb{R}$, on considère l'endomorphisme $f_{a,b}$ de $\mathbb{R}^2$ défini par :

$$f_{a,b} : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} ax + by \\ y \end{pmatrix}.$$

1. Étant donné $(a, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$, déterminer la matrice $A_{a,b}$ associée à l'endomorphisme $f_{a,b}$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}^2$.
2. On note par $G$ l'ensemble de toutes les matrices $A_{a,b}$ ($a \in \mathbb{R}^*$, $b \in \mathbb{R}$). — Montrer que $(G, \cdot)$ (où $\cdot$ est la loi de multiplication des matrices) est un groupe et qu'il est isomorphe au groupe $(E, \star)$.
3. Soient $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ et $b \in \mathbb{R}$. (a) Montrer que $\mathcal{B} := \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -b \\ a - 1 \end{pmatrix} \right\}$ constitue une base du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ puis écrire la matrice $D_{a,b}$ associée à l'endomorphisme $f_{a,b}$ de $\mathbb{R}^2$ relativement à cette nouvelle base $\mathcal{B}$. (b) Justifier sans calcul la formule matricielle : $A_{a,b} = P D_{a,b} P^{-1}$, où $P := \begin{pmatrix} 1 & -b \\ 0 & a - 1 \end{pmatrix}$. (c) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :

$$A_{a,b}^n = P D_{a,b}^n P^{-1}.$$

(d) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer $A_{a,b}^n$ en fonction de $n$ puis en déduire une expression simple pour l'élément de $E$ suivant :

$$\underbrace{(2,1) \star (2,1) \star \cdots \star (2,1)}_{n \text{ fois}}.$$

On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation :

$$x = \frac{1}{2} \cos x \qquad (\star)$$

1. Montrer que $(\star)$ possède une unique solution dans $\mathbb{R}$. Pour toute la suite, on notera $\alpha$ cette solution.
2. Montrer que $\alpha \in \left]0, \frac{1}{2}\right[$.
3. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle vérifiant la relation de récurrence :

$$u_{n+1} = \frac{1}{2} \cos u_n \qquad (\forall n \in \mathbb{N}).$$

(a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :

$$|u_{n+2} - u_{n+1}| \leq \frac{1}{2} |u_{n+1} - u_n|.$$

(b) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :

$$|u_{n+1} - u_n| \leq \frac{1}{2^n} |u_1 - u_0|.$$

(c) En déduire que $(u_n)_n$ est une suite de Cauchy et qu'elle converge vers $\alpha$. 4. (a) Montrer les deux estimations suivantes :

$$\int_0^1 \sin(\alpha x)\, dx \leq \frac{\alpha}{2} \qquad (1)$$ $$\int_0^1 \sin(\alpha x)\, dx = \frac{1}{\alpha} - 2 \qquad (2)$$

(b) En déduire l'encadrement plus précis pour $\alpha$ suivant :

$$\frac{4}{9} < \alpha < \frac{1}{2}.$$