مسابقة دكتوراه 2022 — Université Abbès Laghrour de Khenchela — الموضوع 03

1.

On utilise les différences divisées de Newton.

$f[x_0,x_1]=-1,\qquad f[x_1,x_2]=-2,\qquad f[x_2,x_3]=-1$

$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{-2+1}{2}=-\frac{1}{2},\qquad f[x_1,x_2,x_3]=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2},\qquad f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{3}$

La forme de Newton donne :

$P(x)=2-(x+1)-\frac{1}{2}(x+1)x+\frac{1}{3}(x+1)x(x-1)$

En développant, avec $(x+1)x(x-1)=x^{3}-x$ :

$\boxed{P(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{11}{6}x+1}$

Vérification : $P(-1)=2$, $P(0)=1$, $P(1)=-1$, $P(2)=-2$.

2.

$P$ est une fonction continue sur $[0,1]$ et

$P(0)=1\gt 0,\qquad P(1)=-1\lt 0$

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha\in\,]0,1[$ tel que

$\boxed{P(\alpha)=0}$

1.

Posons $f(x)=e^{x}(1-x)-x$, continue sur $[0,1]$, avec $f(0)=1\gt 0$ et $f(1)=-1\lt 0$ : $f$ s'annule dans $]0,1[$ (valeurs intermédiaires). De plus

$f'(x)=e^{x}(1-x)-e^{x}-1=-x\,e^{x}-1\lt 0\qquad\forall x\in[0,1]$

donc $f$ est strictement décroissante et la racine est unique.

$\boxed{\text{L'équation admet une unique solution }\bar{x}\in\,]0,1[}$

2.

L'équation équivaut à $e^{x}=x(1+e^{x})$, soit la forme de point fixe :

$x=g(x),\qquad g(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}$

On a $g'(x)=\dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\gt 0$. En posant $t=e^{x}\in[1,e]$, $t\mapsto\frac{t}{(1+t)^{2}}$ est décroissante pour $t\geq 1$, donc

$\max_{x\in[0,1]}|g'(x)|=g'(0)=\frac{1}{4}$

Le point fixe réduit l'erreur d'un facteur au moins $4$ par itération, la dichotomie seulement d'un facteur $2$.

$\boxed{\text{La méthode du Point Fixe est la meilleure : taux }k=\tfrac{1}{4}\lt\tfrac{1}{2}}$

3.

$g$ est continue, croissante, et $g([0,1])=\left[\frac{1}{2},\frac{e}{1+e}\right]\subset[0,1]$ ; de plus $|g'|\leq\frac{1}{4}\lt 1$ : $g$ est contractante de rapport $k=\frac{1}{4}$ sur $[0,1]$. Par le théorème du point fixe de Banach, pour tout $x_{0}\in[0,1]$ la suite $x_{n+1}=g(x_{n})$ converge vers l'unique point fixe $\bar{x}$, solution de l'équation.

4.

Avec $x_{0}=0$ :

$x_{1}=g(0)=0{,}5,\qquad x_{2}=g(0{,}5)\approx 0{,}62246,\qquad x_{3}=g(0{,}62246)\approx 0{,}65078$

$\boxed{x_{3}\approx 0{,}6508}$

Erreur a posteriori :

$|x_{3}-\bar{x}|\leq\frac{k}{1-k}|x_{3}-x_{2}|=\frac{1}{3}\times 0{,}02832\approx 9{,}4\times 10^{-3}$

Erreur a priori :

$|x_{3}-\bar{x}|\leq\frac{k^{3}}{1-k}|x_{1}-x_{0}|=\frac{1}{96}\approx 1{,}04\times 10^{-2}$

(la solution exacte est $\bar{x}\approx 0{,}6590$).

1.

En développant par rapport à la deuxième colonne (seul terme non nul $a_{22}=1$) :

$\det(A)=1\times\bigl((-1)\times 1-4\times 2\bigr)=-9\neq 0$

$A$ est inversible, donc $(S)$ possède une solution unique.

2.

Méthode de Crout : $A=LU$, $L$ triangulaire inférieure, $U$ triangulaire supérieure à diagonale unité.

Colonne 1 de $L$ : $l_{11}=-1$, $l_{21}=1$, $l_{31}=2$. Ligne 1 de $U$ : $u_{12}=0$, $u_{13}=\frac{4}{-1}=-4$.

Colonne 2 : $l_{22}=1-1\times 0=1$, $l_{32}=0-2\times 0=0$. Ligne 2 : $u_{23}=\frac{0-1\times(-4)}{1}=4$.

Enfin :

$l_{33}=1-2\times(-4)-0\times 4=9$

Descente $L\,Y=b$ :

$y_{1}=1,\qquad y_{2}=2-1\times 1=1,\qquad y_{3}=\frac{1-2\times 1-0}{9}=-\frac{1}{9}$

Remontée $U\,X=Y$ :

$z=-\frac{1}{9},\qquad y=1-4z=\frac{13}{9},\qquad x=1-(-4)z=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

$\boxed{(x,\,y,\,z)=\left(\frac{5}{9},\ \frac{13}{9},\ -\frac{1}{9}\right)}$

3.

Comme $\det(U)=1$ :

$\det(A)=\det(L)=l_{11}\,l_{22}\,l_{33}=(-1)\times 1\times 9$

$\boxed{\det(A)=-9}$

1.

On choisit $V=H_{0}^{1}(\Omega)$ muni de $\|v\|_{V}=\bigl(\|v\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla v\|_{L^{2}}^{2}\bigr)^{1/2}$. En multipliant l'équation par $v\in V$, en intégrant et en appliquant la formule de Green (terme de bord nul car $v=0$ sur $\partial\Omega$) :

$(FV)\quad\text{trouver }u\in V:\quad a(u,v)=L(v)\quad\forall v\in V$

avec

$a(u,v)=\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\,dx+\int_{\Omega}p\,u\,v\,dx,\qquad L(v)=\int_{\Omega}f\,v\,dx$

2.

Vérifions les hypothèses de Lax–Milgram sur $V$.

Continuité (Cauchy–Schwarz) :

$|a(u,v)|\leq\max\bigl(1,\|p\|_{L^{\infty}}\bigr)\,\|u\|_{V}\,\|v\|_{V}$

Coercivité (car $p\geq\lambda\gt 0$ p.p.) :

$a(v,v)\geq\|\nabla v\|_{L^{2}}^{2}+\lambda\|v\|_{L^{2}}^{2}\geq\min(1,\lambda)\,\|v\|_{V}^{2}$

$L$ est linéaire continue : $|L(v)|\leq\|f\|_{L^{2}}\|v\|_{V}$. Par Lax–Milgram :

$\boxed{(P)\text{ admet une unique solution faible }u^{*}\in H_{0}^{1}(\Omega)}$

3.

En prenant $v=u^{*}$ dans $(FV)$ :

$\min(1,\lambda)\,\|u^{*}\|_{V}^{2}\leq a(u^{*},u^{*})=L(u^{*})\leq\|f\|_{L^{2}}\,\|u^{*}\|_{V}$

d'où, en simplifiant par $\|u^{*}\|_{V}$ :

$\boxed{\|u^{*}\|_{V}\leq C\,\|f\|_{L^{2}(\Omega)}\quad\text{avec}\quad C=\frac{1}{\min(1,\lambda)}}$

1.

On prend $V=H_{0}^{2}(]0,1[)$ muni de $\|v\|_{V}=\bigl(\int_{0}^{1}(v'')^{2}\bigr)^{1/2}$. Pour $v\in V$, deux intégrations par parties donnent (les termes de bord s'annulent car $v=v'=0$ aux bords) :

$\int_{0}^{1}u^{(4)}v\,dx=\int_{0}^{1}u''\,v''\,dx$

D'où la formulation :

$(FV)\quad\text{trouver }u\in V:\quad a(u,v)=\int_{0}^{1}u''v''\,dx+\int_{0}^{1}c\,u\,v\,dx=\int_{0}^{1}f\,v\,dx=L(v)\quad\forall v\in V$

2.

Supposons $c$ continue bornée et posons $c_{0}=\inf_{[0,1]}c$. Continuité de $a$ : $|a(u,v)|\leq C_{1}\|u\|_{V}\|v\|_{V}$ (Cauchy–Schwarz et équivalence des normes). Coercivité : Poincaré appliqué à $v$ puis $v'$ donne

$\|v\|_{L^{2}}\leq\frac{1}{\pi}\|v'\|_{L^{2}}\leq\frac{1}{\pi^{2}}\|v''\|_{L^{2}}$

donc, si $c_{0}\geq 0$, $a(v,v)\geq\|v\|_{V}^{2}$, et plus généralement

$a(v,v)\geq\Bigl(1+\frac{c_{0}}{\pi^{4}}\Bigr)\|v\|_{V}^{2}\quad\text{coercive dès que }c_{0}\gt-\pi^{4}$

Par Lax–Milgram :

$\boxed{\text{Si }\inf c\gt-\pi^{4}\ (\text{en particulier si }c\geq 0),\ (FV)\text{ admet une unique solution }u\in H_{0}^{2}}$

3.

En prenant $v=\varphi\in\mathcal{D}(]0,1[)$, on obtient au sens des distributions $(u'')''=f-c\,u\in L^{2}$, donc $u\in H^{4}(]0,1[)$ et

$u^{(4)}+c\,u=f\quad\text{presque partout sur }]0,1[$

Les conditions $u(0)=u(1)=u'(0)=u'(1)=0$ viennent de $u\in H_{0}^{2}$.

$\boxed{u\text{ est solution forte (p.p.) du problème (1)}}$

4.

$a$ étant symétrique, continue et coercive, $u$ est l'unique minimiseur de l'énergie :

$\boxed{u=\underset{v\in H_{0}^{2}(]0,1[)}{\operatorname{argmin}}\ J(v),\qquad J(v)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(v'')^{2}\,dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}c\,v^{2}\,dx-\int_{0}^{1}f\,v\,dx}$