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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Complexe

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Concours d'accès à la formation de troisième cycle en vue de l'obtention du diplôme de doctorat 2024-2025 — Filière Mathématiques, Épreuve de spécialité : Analyse Complexe (21/02/2025)

التمرين 1

Intégrale sur une ellipse à pôles doubles (z−e)²(z−ei)²

Pour chaque n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}, soit γn\gamma_n l'ellipse d'équation 4x2+y2−4n2=04x^{2}+y^{2}-4n^{2}=0, parcourue dans le sens direct. Calculer In=∮γndz(z2−e(1+i)z+ie2)2.I_n=\oint_{\gamma_n}\frac{dz}{\big(z^{2}-e(1+i)z+ie^{2}\big)^{2}}.

Remarque : les deux résidus sont opposés, donc dès que les deux pôles sont enlacés (n≥3n\ge3) l'intégrale s'annule ; seul le cas intermédiaire n=2n=2 (un seul pôle à l'intérieur) donne une valeur non nulle.

◀الحل

Factorisation du dénominateur

Les racines de z2−e(1+i)z+ie2z^{2}-e(1+i)z+ie^{2} sont z=ez=e et z=eiz=ei (discriminant e2((1+i)2−4i)=−2e2ie^2((1+i)^2-4i)=-2e^2i, −2i=1−i\sqrt{-2i}=1-i). Donc z2−e(1+i)z+ie2=(z−e)(z−ei),etIn=∮γndz(z−e)2(z−ei)2.z^{2}-e(1+i)z+ie^{2}=(z-e)(z-ei),\qquad \text{et}\qquad I_n=\oint_{\gamma_n}\frac{dz}{(z-e)^{2}(z-ei)^{2}}. Les pôles sont z=e≈2.718z=e\approx2.718 (double, sur l'axe réel) et z=ei≈2.718 iz=ei\approx2.718\,i (double, sur l'axe imaginaire).

Position des pôles / ellipse

L'ellipse 4x2+y2=4n24x^2+y^2=4n^2 s'écrit x2n2+y2(2n)2=1\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{y^2}{(2n)^2}=1 (demi-axes nn selon xx, 2n2n selon yy).

  • z=e=(e,0)z=e=(e,0) intérieur   ⟺  4e2<4n2  ⟺  n≥3\iff 4e^{2}<4n^{2}\iff n\ge3.
  • z=ei=(0,e)z=ei=(0,e) intérieur   ⟺  e2<4n2  ⟺  n≥2\iff e^{2}<4n^{2}\iff n\ge2.

Résidus aux pôles doubles

Res⁡z=e=ddz[1(z−ei)2]z=e=−2(e−ei)3=1−i2e3,\operatorname{Res}_{z=e}=\frac{d}{dz}\Big[\frac1{(z-ei)^2}\Big]_{z=e}=\frac{-2}{(e-ei)^3}=\frac{1-i}{2e^{3}}, Res⁡z=ei=ddz[1(z−e)2]z=ei=−2(ei−e)3=−1−i2e3.\operatorname{Res}_{z=ei}=\frac{d}{dz}\Big[\frac1{(z-e)^2}\Big]_{z=ei}=\frac{-2}{(ei-e)^3}=-\frac{1-i}{2e^{3}}.

Conclusion selon nn

  • n=1n=1 : aucun pôle intérieur, I1=0\boxed{I_1=0}.
  • n=2n=2 : seul eiei est intérieur, I2=2πi(−1−i2e3)=−π(1+i)e3I_2=2\pi i\Big(-\dfrac{1-i}{2e^{3}}\Big)=\boxed{-\dfrac{\pi(1+i)}{e^{3}}}.
  • n≥3n\ge3 : les deux pôles sont intérieurs, In=2πi(Res⁡e+Res⁡ei)=2πi⋅0=0I_n=2\pi i\big(\operatorname{Res}_e+\operatorname{Res}_{ei}\big)=2\pi i\cdot0=\boxed{0}.

التمرين 2

Formule intégrale à noyau et formule de Poisson

Soient ff une fonction analytique dans le disque ∣z∣<ρ|z|<\rho et ∣a∣<R<ρ|a|<R<\rho. Démontrer que f(a)=12πi∮∣z∣=RR2−aaˉ(z−a)(R2−zaˉ) f(z) dz.f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=R}\frac{R^{2}-a\bar a}{(z-a)(R^{2}-z\bar a)}\,f(z)\,dz. En déduire la formule de Poisson f(reiθ)=12π∫02πR2−r2R2−2Rrcos⁡(θ−φ)+r2 f(Reiφ) dφ,(0<r<R).f(re^{i\theta})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^{2}}\,f(Re^{i\varphi})\,d\varphi,\qquad(0<r<R).

Remarque : le point symétrique R2/aˉR^2/\bar a (inverse par rapport au cercle ∣z∣=R|z|=R) est la clé : son résidu nul «fabrique» le noyau de Poisson R2−r2R2−2Rrcos⁡(θ−φ)+r2\dfrac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^2}.

◀الحل

Formule à noyau

Par la formule de Cauchy, f(a)=12πi∮∣z∣=Rf(z)z−a dzf(a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=R}\dfrac{f(z)}{z-a}\,dz. Le point R2/aˉR^{2}/\bar a vérifie ∣R2/aˉ∣=R2/∣a∣>R|R^{2}/\bar a|=R^{2}/|a|>R, donc il est à l'extérieur du disque et 0=12πi∮∣z∣=Rf(z)z−R2/aˉ dz.0=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=R}\frac{f(z)}{z-R^{2}/\bar a}\,dz. En soustrayant, 1z−a−1z−R2/aˉ=a−R2/aˉ(z−a)(z−R2/aˉ)=R2−aaˉ(z−a)(R2−zaˉ),\frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-R^{2}/\bar a}=\frac{a-R^{2}/\bar a}{(z-a)(z-R^{2}/\bar a)}=\frac{R^{2}-a\bar a}{(z-a)(R^{2}-z\bar a)}, d'où f(a)=12πi∮∣z∣=RR2−aaˉ(z−a)(R2−zaˉ) f(z) dz.f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=R}\frac{R^{2}-a\bar a}{(z-a)(R^{2}-z\bar a)}\,f(z)\,dz.

Passage à la formule de Poisson

On pose a=reiθa=re^{i\theta} (donc aaˉ=r2a\bar a=r^{2}) et z=Reiφz=Re^{i\varphi}, dz=iReiφdφdz=iRe^{i\varphi}d\varphi. On calcule (z−a)(R2−zaˉ)=Reiφ(R2−2Rrcos⁡(θ−φ)+r2).(z-a)(R^{2}-z\bar a)=Re^{i\varphi}\big(R^{2}-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^{2}\big). Ainsi R2−aaˉ(z−a)(R2−zaˉ) dz=(R2−r2) iReiφReiφ(R2−2Rrcos⁡(θ−φ)+r2) dφ=i(R2−r2)R2−2Rrcos⁡(θ−φ)+r2 dφ.\frac{R^{2}-a\bar a}{(z-a)(R^{2}-z\bar a)}\,dz=\frac{(R^{2}-r^{2})\,iRe^{i\varphi}}{Re^{i\varphi}\big(R^{2}-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^{2}\big)}\,d\varphi=\frac{i(R^{2}-r^{2})}{R^{2}-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^{2}}\,d\varphi. En remplaçant dans la formule précédente, le facteur ii se simplifie avec le 12πi\frac{1}{2\pi i} : f(reiθ)=12π∫02πR2−r2R2−2Rrcos⁡(θ−φ)+r2 f(Reiφ) dφ.\boxed{f(re^{i\theta})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^{2}}\,f(Re^{i\varphi})\,d\varphi.}

التمرين 3

Développement de Mittag-Leffler de cos w / sin(πw)

1° Montrer que la fonction ff définie dans C\mathbb{C} par f(z)=cos⁡zsin⁡πzf(z)=\dfrac{\cos z}{\sin \pi z} est méromorphe ; déterminer ses pôles et les résidus correspondants.

2° Déterminer les pôles et les résidus de la fonction gg définie par g(z)=f(z)w2−z2,g(z)=\frac{f(z)}{w^{2}-z^{2}}, où ww est un nombre complexe non entier.

3° Pour n∈Nn\in\mathbb{N}, on désigne par γn\gamma_n le carré de sommets (n+12)(−1−i), (n+12)(−1+i), (n+12)(1+i), (n+12)(1−i).\Big(n+\tfrac12\Big)(-1-i),\ \Big(n+\tfrac12\Big)(-1+i),\ \Big(n+\tfrac12\Big)(1+i),\ \Big(n+\tfrac12\Big)(1-i). En considérant l'intégrale In=12πi∮∂γncos⁡z(w2−z2)sin⁡πz dz,I_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\gamma_n}\frac{\cos z}{(w^{2}-z^{2})\sin \pi z}\,dz, où ∂γn\partial\gamma_n est la frontière de γn\gamma_n orientée dans le sens direct, montrer que cos⁡wsin⁡πw=1πw+1π∑n=1+∞(−1)n 2wcos⁡nw2−n2.\frac{\cos w}{\sin \pi w}=\frac{1}{\pi w}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\,\frac{2w\cos n}{w^{2}-n^{2}}.

Remarque : c'est la méthode classique de développement en éléments simples (Mittag-Leffler) via des contours carrés γn\gamma_n évitant les pôles, où la bornitude de cot⁡\cot-type sur ∂γn\partial\gamma_n assure In→0I_n\to0.

◀الحل

1° Pôles et résidus de ff

cos⁡z\cos z est entière et sin⁡πz\sin\pi z s'annule (simplement) aux points z=k∈Zz=k\in\mathbb{Z}, où cos⁡πk=(−1)k≠0\cos\pi k=(-1)^{k}\neq0. Donc ff est méromorphe, à pôles simples en z=k∈Zz=k\in\mathbb{Z}, avec Res⁡z=kf=cos⁡k(sin⁡πz)′∣z=k=cos⁡kπcos⁡πk=(−1)kcos⁡kπ.\operatorname{Res}_{z=k}f=\frac{\cos k}{(\sin\pi z)'|_{z=k}}=\frac{\cos k}{\pi\cos\pi k}=\frac{(-1)^{k}\cos k}{\pi}.

2° Pôles et résidus de gg

g(z)=cos⁡z(w2−z2)sin⁡πzg(z)=\dfrac{\cos z}{(w^{2}-z^{2})\sin\pi z} a pour pôles z=k∈Zz=k\in\mathbb{Z} et z=±wz=\pm w.

En z=k∈Zz=k\in\mathbb{Z} : Res⁡z=kg=(−1)kcos⁡kπ(w2−k2).\operatorname{Res}_{z=k}g=\dfrac{(-1)^{k}\cos k}{\pi(w^{2}-k^{2})}.

En z=±wz=\pm w : comme w2−z2=−(z−w)(z+w)w^{2}-z^{2}=-(z-w)(z+w), Res⁡z=wg=cos⁡w−(2w)sin⁡πw=−cos⁡w2wsin⁡πw,Res⁡z=−wg=−cos⁡w2wsin⁡πw.\operatorname{Res}_{z=w}g=\frac{\cos w}{-(2w)\sin\pi w}=-\frac{\cos w}{2w\sin\pi w},\qquad \operatorname{Res}_{z=-w}g=-\frac{\cos w}{2w\sin\pi w}.

3° Développement

Le carré γn\gamma_n (sommets (±(n+12),±(n+12))(\pm(n+\tfrac12),\pm(n+\tfrac12))) contient les entiers k=−n,…,nk=-n,\dots,n et les pôles ±w\pm w. Le théorème des résidus donne In=∑k=−nnRes⁡z=kg+Res⁡z=wg+Res⁡z=−wg=∑k=−nn(−1)kcos⁡kπ(w2−k2)−cos⁡wwsin⁡πw.I_n=\sum_{k=-n}^{n}\operatorname{Res}_{z=k}g+\operatorname{Res}_{z=w}g+\operatorname{Res}_{z=-w}g=\sum_{k=-n}^{n}\frac{(-1)^{k}\cos k}{\pi(w^{2}-k^{2})}-\frac{\cos w}{w\sin\pi w}. Sur ∂γn\partial\gamma_n, ∣cos⁡zsin⁡πz∣\left|\dfrac{\cos z}{\sin\pi z}\right| est borné (uniformément en nn) tandis que 1w2−z2=O(1/∣z∣2)\dfrac{1}{w^{2}-z^{2}}=O(1/|z|^{2}) ; la longueur de ∂γn\partial\gamma_n est O(n)O(n), donc In→0I_n\to0 quand n→+∞n\to+\infty. Par conséquent cos⁡wwsin⁡πw=∑k=−∞+∞(−1)kcos⁡kπ(w2−k2).\frac{\cos w}{w\sin\pi w}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}\cos k}{\pi(w^{2}-k^{2})}. En isolant le terme k=0k=0 (=1πw2=\tfrac{1}{\pi w^{2}}) et en regroupant kk et −k-k (cos⁡(−k)=cos⁡k\cos(-k)=\cos k, (−1)−k=(−1)k(-1)^{-k}=(-1)^{k}) : cos⁡wwsin⁡πw=1πw2+∑n=1+∞2(−1)ncos⁡nπ(w2−n2).\frac{\cos w}{w\sin\pi w}=\frac{1}{\pi w^{2}}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(-1)^{n}\cos n}{\pi(w^{2}-n^{2})}. En multipliant par ww : cos⁡wsin⁡πw=1πw+1π∑n=1+∞(−1)n 2wcos⁡nw2−n2.\boxed{\frac{\cos w}{\sin\pi w}=\frac{1}{\pi w}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\,\frac{2w\cos n}{w^{2}-n^{2}}.}