مسابقة دكتوراه 2016 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

Concours Doctorat LMD Mathématiques, option Analyse, Analyse Mathématique, Béjaïa, 08 octobre 2016.

التمرين 1

Espaces de Sobolev Hs et caractérisation de Hm

#sobolev#fourier-transform#hilbert-space

Montrer que $H^s(\mathbb R^N)$ est Hilbert, que $H^{s_1}\subset H^{s_2}$ si $s_1\ge s_2$ , et caractériser $H^m$ par les dérivées faibles d'ordre au plus $m$ .

◀الحل

La transformée de Fourier pondérée identifie $H^s$ à un espace fermé de $L^2$ . La monotonie du poids donne l'inclusion. Les comparaisons multinomiales entre $(1+|\xi|^2)^m$ et $\sum_{|\alpha|\le m}|\xi^\alpha|^2$ , puis Plancherel, donnent $H^m=\{u:D^\alpha u\in L^2,|\alpha|\le m\}$ avec normes équivalentes.

التمرين 2

Formulation variationnelle dans H1

#variational-method#lax-milgram#neumann-boundary

Sur $I=(0,1)$ , avec $a(u,v)=\int u'v'+(\int u)(\int v)$ , établir existence et unicité de $a(u,v)=\int fv$ , puis déterminer le problème fort.

◀الحل

La forme est continue et coercive sur $H^1$ via $\|u\|_{H^1}^2\le C(\|u'\|_2^2+|\int u|^2)$ . Lax-Milgram s'applique. Au sens fort, $-u''+\int_0^1u=f$ et les termes de bord imposent $u'(0)=u'(1)=0$ .

التمرين 3

Système autonome, stabilité et explosion

#dynamical-systems#stability#invariant-region

Étudier $\dot x=x^2-y$ , $\dot y=(x+x^3)(y-1)$ , ses équilibres et la région $A=\{x<0,x^2<y<1\}$ .

◀الحل

La symétrie $(x,y)\mapsto(-x,y)$ renverse le temps et $y=1$ est invariante. Le Jacobien classe $(1,1)$ comme source, $(-1,1)$ comme puits et $(0,0)$ comme selle. Le champ pointe vers l'intérieur de $A$ ; dans $A$ , $x$ décroît et $y$ croît. Une comparaison de Riccati entraîne l'explosion $x(t)\to-\infty$ en temps fini, avec $y(t)\uparrow1$ .

التمرين 4

Itération à pente fixée

#numerical-analysis#fixed-point#root-finding

Pour une fonction dérivable monotone ayant une racine unique $\alpha$ , étudier $x_{k+1}=x_k-\omega f(x_k)$ .

◀الحل

Poser $g(x)=x-\omega f(x)$ . Si $g([a,b])\subset[a,b]$ et $\sup|1-\omega f'|<1$ , l'itération converge vers $\alpha$ . Si $0<m\le f'\le M$ , tout $0<\omega<2/M$ convient, et $\omega=2/(m+M)$ minimise le facteur uniforme.