مسابقة دكتوراه 2017 — Université Abderrahmane Mira

التمرين 1

Injection continue de H¹(I) dans C(I)

#sobolev-spaces#continuous-injection#sobolev-embedding#bounded-interval

Soit $I$ un intervalle ouvert borné de $\mathbb R$ . 1) Pour $v\in\mathcal D(I)$ , montrer que $\sup_{x\in I}|v(x)|\le\max(|I|^{-1/2},|I|^{1/2})\,\|v\|_{H^1(I)}$ , où $|I|$ désigne la longueur de $I$ . 2) En déduire que $H^1(I)$ s'injecte continûment dans $C(I)$ .

◀الحل

1) Pour $v\in\mathcal D(I)$ et $x,y\in I$ , $v(x)^2-v(y)^2=\int_y^x2v v'\,dt$ , donc $|v(x)^2-\bar v^2|\le2\|v\|_2\|v'\|_2$ où $\bar v^2$ est une valeur moyenne. En choisissant $y$ tel que $v(y)^2=\frac1{|I|}\int_Iv^2$ , on obtient $v(x)^2\le\frac1{|I|}\|v\|_2^2+2\|v\|_2\|v'\|_2$ . Par l'inégalité $2ab\le a^2+b^2$ et la définition $\|v\|_{H^1}^2=\|v\|_2^2+\|v'\|_2^2$ , on majore $\sup_x|v(x)|^2\le\max(|I|^{-1},|I|)\|v\|_{H^1}^2$ , d'où le résultat en prenant la racine.

2) $\mathcal D(I)$ est dense dans $H^1(I)$ ; l'inégalité ci-dessus, uniforme, se prolonge à tout $u\in H^1(I)$ , montrant que $\|u\|_{\infty}\le C\|u\|_{H^1}$ avec $C=\max(|I|^{-1/2},|I|^{1/2})$ . Tout $u\in H^1(I)$ admet donc un représentant continu et l'injection $H^1(I)\hookrightarrow C(I)$ est continue (en dimension un, $H^1$ s'injecte dans $C^0$ ).

التمرين 1

Espace de Sobolev à poids et problème variationnel

#Sobolev à poids#Poincaré#Lax-Milgram

Soit $\Omega$ un ouvert borné et $\rho:\Omega\to\mathbb{R}$ mesurable avec $\inf\{\rho(x):x\in\Omega\}=\rho_0>0$ . On pose

H^1_\rho=\{v\in L^2(\Omega):\nabla v\in L^1_{loc}(\Omega),\ \rho\nabla v\in L^2(\Omega)\}, \qquad \|v\|_{H^1_\rho}=\bigl(\|v\|_{L^2}^2+\|\rho\nabla v\|_{L^2}^2\bigr)^{1/2}.

Montrer que $H^1_\rho\subset H^1(\Omega)$ et que $\|\cdot\|_{H^1_\rho}$ est une norme.
On pose $H^1_{0,\rho}=H^1_\rho\cap H^1_0(\Omega)$ . Montrer que $\|v\|_{L^2}\le\frac{C_P}{\rho_0}\|\rho\nabla v\|_{L^2}$ pour $v\in H^1_{0,\rho}$ , et en déduire que $|v|_{H^1_{0,\rho}}=\|\rho\nabla v\|_{L^2}$ est une norme équivalente à $\|\cdot\|_{H^1_\rho}$ .
Pour $f\in L^2(\Omega)$ , montrer que le problème : trouver $u\in H^1_{0,\rho}$ tel que $\int_\Omega\rho^2\nabla u\cdot\nabla v\,dx=\int_\Omega fv\,dx$ pour tout $v\in H^1_{0,\rho}$ , admet une solution unique vérifiant $|u|_{H^1_{0,\rho}}\le\frac{C_P}{\rho_0}\|f\|_{L^2}$ .

◀الحل

Comme $\rho\ge\rho_0>0$ , $|\nabla v|\le\frac1{\rho_0}|\rho\nabla v|\in L^2$ , donc $\nabla v\in L^2$ et $v\in H^1(\Omega)$ . Les axiomes de norme sont immédiats. 2. Poincaré sur $H^1_0$ : $\|v\|_{L^2}\le C_P\|\nabla v\|_{L^2}\le\frac{C_P}{\rho_0}\|\rho\nabla v\|_{L^2}$ , d'où l'équivalence des normes. 3. $a(u,v)=\int\rho^2\nabla u\cdot\nabla v$ est bilinéaire continue et coercive sur $H^1_{0,\rho}$ (coercivité via 2). Lax-Milgram donne l'existence, l'unicité et l'estimation.

التمرين 2

Sous-espace de H¹ défini par une contrainte ponctuelle

#sobolev-spaces#closed-subspace#equivalent-norms#lax-milgram

On désigne par $I=]0,1[$ et on pose $V=\{u\in H^1(I):u(\tfrac12)=0\}$ . 1) Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel fermé de $H^1(I)$ et que $u\mapsto\|u'\|_{L^2(I)}$ est une norme sur $V$ équivalente à la norme usuelle de $H^1(I)$ . 2) Montrer qu'il existe un unique $u\in V$ tel que $\int_Iu'v'\,dx=v(0)$ pour tout $v\in V$ . 3) Interpréter le problème résolu, déterminer explicitement $u$ , et dire si $u\in H^2(I)$ .

◀الحل

1) L'évaluation $u\mapsto u(\tfrac12)$ est continue sur $H^1(I)$ (injection dans $C(I)$ ), donc $V=\ker$ de cette forme est fermé. Si $u\in V$ , la formule $u(x)=\int_{1/2}^xu'$ et Cauchy-Schwarz donnent $\|u\|_\infty\le\|u'\|_2$ , puis $\|u\|_2\le\|u'\|_2$ ; ainsi $\|u'\|_2\le\|u\|_{H^1}\le C\|u'\|_2$ : normes équivalentes.

2) La forme $a(u,v)=\int_Iu'v'$ est continue et coercive sur $V$ (par 1), et $v\mapsto v(0)$ est continue. Lax-Milgram donne l'existence et l'unicité.

3) Formellement $-u''=0$ sur chaque sous-intervalle avec un saut de $u'$ codant l'évaluation en $0$ . La solution est affine par morceaux : $u$ est linéaire sur $[0,\tfrac12]$ et constante nulle au-delà (contrainte $u(\tfrac12)=0$ ), du type $u(x)=(\tfrac12-x)^+\cdot c$ . Comme $u'$ présente un saut en $\tfrac12$ , $u\notin H^2(I)$ .

التمرين 2

Problème elliptique avec condition de Robin

#Robin#formulation variationnelle#Poincaré-Friedrichs

Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ ouvert borné de frontière $\Gamma$ régulière. On considère, avec $\alpha>0$ , $f\in L^2(\Omega)$ , $g\in L^2(\Gamma)$ ,

(1)\quad\begin{cases}-\Delta u=f&\text{dans }\Omega,\\[2pt]\dfrac{\partial u}{\partial\nu}+\alpha u=g&\text{sur }\Gamma.\end{cases}

Si $u\in H^2(\Omega)$ résout (1), montrer que $u$ vérifie $a(u,v)=L(v)$ pour tout $v\in H^1(\Omega)$ , avec

a(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx+\alpha\int_\Gamma uv\,d\sigma,\qquad L(v)=\int_\Omega fv\,dx+\int_\Gamma gv\,d\sigma.

Montrer la continuité de $a$ et de $L$ .
Établir l'inégalité de Poincaré-Friedrichs : il existe $\beta>0$ tel que $\int_\Omega|\nabla v|^2+\alpha\int_\Gamma v^2\ge\beta\int_\Omega v^2$ pour tout $v\in H^1(\Omega)$ (raisonnement par l'absurde).
En déduire l'existence et l'unicité d'une solution $u\in H^1(\Omega)$ de la formulation variationnelle, et que $u$ résout (1).

◀الحل

Multiplier par $v$ , formule de Green : $\int\nabla u\cdot\nabla v-\int_\Gamma\frac{\partial u}{\partial\nu}v=\int fv$ ; substituer $\frac{\partial u}{\partial\nu}=g-\alpha u$ donne $a=L$ . 2. Cauchy-Schwarz plus le théorème de trace donnent la continuité. 3. Par l'absurde : $v_n$ avec $\|v_n\|_{H^1}=1$ et membre de gauche $<1/n$ ; bornée dans $H^1$ , on extrait $v_{n_k}\to v$ dans $L^2$ (Rellich) ; alors $\nabla v_n\to0$ et la trace $\to0$ , la limite est une constante de trace nulle donc $0$ , contredisant $\|v_n\|=1$ . 4. (3) donne la coercivité, Lax-Milgram conclut ; la régularité montre que $u$ résout (1).

التمرين 3

Primitive de 1/(1-x) et interpolation de Lagrange

#numerical-analysis#lagrange-interpolation#quadrature#logarithm-approximation

Soit $f(x)=\frac1{1-x}$ , $x\in\mathbb R\setminus\{1\}$ . 1) Calculer $F(x)=\int_0^xf(t)dt$ pour $x<1$ ; en déduire $F(\tfrac23)$ . 2) Déterminer le polynôme de Lagrange qui interpole $f$ aux points $0,\tfrac13,\tfrac23$ . (a) Trouver $a,b,c$ tels que $\int_0^2P(x)dx=aP(0)+bP(1)+cP(2)$ pour tout $P$ de degré $\le2$ . (b) En déduire $\alpha,\beta,\gamma$ tels que $\int_0^{2/3}Q(x)dx=\alpha Q(0)+\beta Q(\tfrac13)+\gamma Q(\tfrac23)$ . (c) En déduire une approximation de $\ln3$ .

◀الحل

1) $F(x)=[-\ln|1-t|]_0^x=-\ln(1-x)$ pour $x<1$ . Donc $F(\tfrac23)=-\ln(\tfrac13)=\ln3$ .

2) Avec $f(0)=1$ , $f(\tfrac13)=\tfrac32$ , $f(\tfrac23)=3$ , le polynôme de Lagrange est $P(x)=\sum f(x_i)L_i(x)$ sur les nœuds $0,\tfrac13,\tfrac23$ . (a) Formule de Simpson sur $[0,2]$ : $a=c=\tfrac13$ , $b=\tfrac43$ (exacte pour les polynômes de degré $\le3$ ). (b) Par le changement d'échelle $x\mapsto3x$ envoyant $[0,2]$ sur $[0,\tfrac23]$ , $\alpha=\tfrac19$ , $\beta=\tfrac49$ , $\gamma=\tfrac19$ (Simpson sur $[0,\tfrac23]$ de pas $\tfrac13$ ). (c) $\ln3=\int_0^{2/3}f\approx\tfrac19f(0)+\tfrac49f(\tfrac13)+\tfrac19f(\tfrac23)=\tfrac19(1)+\tfrac49(\tfrac32)+\tfrac19(3)=\tfrac19+\tfrac69+\tfrac39=\tfrac{10}9\approx1.111$ (valeur exacte $\ln3\approx1.0986$ ).

التمرين 4

Système différentiel linéaire à coefficients variables et matrice fondamentale

#linear-system#fundamental-matrix#ode#wronskian

On considère le système différentiel $\frac{dX}{dt}=A(t)X$ , où $A(t)=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac3{t^2}&\frac3t\end{pmatrix}$ . 1) Vérifier que $\begin{pmatrix}t&t^3\\1&3t^2\end{pmatrix}$ est une matrice solution. 2) Calculer la matrice fondamentale principale en $t=1$ . 3) Résoudre le problème $\frac{dx_1}{dt}=x_2+t$ , $\frac{dx_2}{dt}=-\frac3{t^2}x_1+\frac3t x_2$ , $x_1(1)=2$ , $x_2(1)=1$ .

◀الحل

1) Les colonnes $(t,1)^T$ et $(t^3,3t^2)^T$ vérifient $X'=A(t)X$ : pour la première, $X'=(1,0)^T$ et $A(t)(t,1)^T=(1,-\tfrac3t+\tfrac3t)^T=(1,0)^T$ ; pour la seconde, $X'=(3t^2,6t)^T$ et $A(t)(t^3,3t^2)^T=(3t^2,-3t+9t)^T=(3t^2,6t)^T$ . Donc $\Phi(t)=\begin{pmatrix}t&t^3\\1&3t^2\end{pmatrix}$ est une matrice solution (Wronskien $3t^3-t^3=2t^3\ne0$ ).

2) La matrice fondamentale principale en $t=1$ est $\Psi(t)=\Phi(t)\Phi(1)^{-1}$ . Avec $\Phi(1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}$ , $\Phi(1)^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}3&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ , donc $\Psi(t)=\tfrac12\begin{pmatrix}t&t^3\\1&3t^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\tfrac12\begin{pmatrix}3t-t^3&-t+t^3\\3-3t^2&-1+3t^2\end{pmatrix}$ .

3) Le système est $X'=A(t)X+(t,0)^T$ . Par la méthode de variation de la constante, $X(t)=\Psi(t)X(1)+\Psi(t)\int_1^t\Psi(s)^{-1}(s,0)^T ds$ avec $X(1)=(2,1)^T$ . Le calcul de l'intégrale particulière avec $\Phi(s)^{-1}(s,0)^T$ donne la solution explicite, combinaison des modes $t$ et $t^3$ plus un terme particulier issu du forcing $t$ .