مسابقة دكتوراه 2018 — Université Abderrahmane Mira

التمرين 1

Matrice d'ordre 3 de rang un : diagonalisation et puissances

#linear-algebra#eigenvalues#diagonalization#minimal-polynomial#matrix-powers

Soient $a,b$ deux réels non nuls et $M=\begin{pmatrix}1&a&ab\\ \frac1a&1&b\\ \frac1{ab}&\frac1b&1\end{pmatrix}$ . 1) Calculer le polynôme caractéristique de $M$ . 2) a) En déduire les valeurs propres avec leur multiplicité ; b) $M$ est-elle inversible ? 3) a) Calculer $\operatorname{Ker}M$ ; b) en déduire que $M$ est diagonalisable ; c) en déduire le polynôme minimal de $M$ . 4) Montrer que $M^n=3^{n-1}M$ pour tout $n\in\mathbb N^*$ . 5) a) Justifier que $M-I_3$ est inversible ; b) à l'aide du polynôme minimal, calculer $(M-I_3)^{-1}$ .

◀الحل

Les trois colonnes de $M$ sont proportionnelles (colonne $j$ = $(1,\tfrac1a,\tfrac1{ab})^T$ fois un scalaire), donc $\operatorname{rg}M=1$ et $M=uv^T$ avec $u=(1,\tfrac1a,\tfrac1{ab})^T$ , $v=(1,a,ab)^T$ , $v^Tu=3$ . 1) Pour une matrice de rang un $uv^T$ , $\chi_M(\lambda)=(-1)^3\lambda^2(\lambda-\operatorname{tr}M)=-\lambda^2(\lambda-3)$ (car $\operatorname{tr}M=3$ ). 2) Valeurs propres $0$ (multiplicité $2$ ) et $3$ (simple) ; $M$ n'est pas inversible ( $0$ est valeur propre). 3a) $\operatorname{Ker}M=\{x:v^Tx=0\}$ , hyperplan de dimension $2$ . b) $\dim\operatorname{Ker}M=2=$ mult. de $0$ et le sous-espace propre de $3$ est de dimension $1$ : total $3$ , donc $M$ diagonalisable. c) Polynôme minimal $\pi_M(\lambda)=\lambda(\lambda-3)$ (racines simples). 4) De $M^2=3M$ (car $\pi_M(M)=0$ ), on tire par récurrence $M^n=3^{n-1}M$ . 5a) $1$ n'est pas valeur propre de $M$ (valeurs propres $0,3$ ), donc $M-I_3$ inversible. b) De $M^2-3M=0$ : $(M-I_3)(M-2I_3)=M^2-3M+2I_3=2I_3$ , donc $(M-I_3)^{-1}=\frac12(M-2I_3)$ .

التمرين 2

Comparaison série-intégrale et convergence d'une suite

#series-integral-comparison#monotone-sequence#convergence#real-analysis

Soit $f:[1,+\infty)\to\mathbb R$ continue, strictement décroissante, avec $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ . On pose $u_n=\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(t)dt$ ( $n\ge1$ ). 1) a) Justifier la formule $u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\Big[\int_k^{k+1}(f(k)-f(t))dt\Big]+f(n)$ . b) En déduire la monotonie et la convergence de $(u_n)$ .

◀الحل

1a) On écrit $\sum_{k=1}^n f(k)=\sum_{k=1}^{n-1}f(k)+f(n)$ et $\int_1^n f=\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}f(t)dt$ . Comme $f(k)=\int_k^{k+1}f(k)dt$ , on obtient $u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}(f(k)-f(t))dt+f(n)$ .

b) Sur $[k,k+1]$ , $f$ décroissante donne $f(k)-f(t)\ge0$ , donc chaque intégrale est $\ge0$ . La différence $u_{n+1}-u_n=\int_n^{n+1}(f(n)-f(t))dt+f(n+1)-f(n)$ ; en fait $u_{n+1}-u_n=f(n+1)-\int_n^{n+1}f(t)dt\le0$ car $f(n+1)\le f(t)$ sur $[n,n+1]$ : $(u_n)$ est décroissante. Elle est minorée par $0$ (somme d'intégrales positives plus $f(n)>0$ ), donc converge vers une limite $\ell\ge0$ (constante de type Euler associée à $f$ ).