مسابقة دكتوراه 2019 — Université Abderrahmane Mira

التمرين 1

Matrices symétriques 2×2 positives : caractérisation par le déterminant et la trace

#algèbre linéaire#matrices symétriques#valeurs propres#formes quadratiques

Pour tout ce qui suit, on note par $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels. Pour $M\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , on désigne par $\det(M)$ le déterminant de $M$ et par $\mathrm{Tr}(M)$ la trace de $M$ . On désigne aussi par ${}^tM$ la matrice transposée de $M$ . On dira que $M$ est symétrique si ${}^tM=M$ . Si $M$ est symétrique, on dira qu'elle est positive si pour tout $X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2$ , on a : ${}^tXMX\ \ge\ 0\qquad(1)$ (où ${}^tX$ désigne la transposée de $X$ ).

Soient $a,b$ et $c$ des nombres réels et $A$ la matrice symétrique de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ donnée par : $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}.$

1) Montrer que les valeurs propres de $A$ sont réelles.

2) Sous quelles conditions sur $a,b,c$ , la matrice $A$ possède-t-elle une valeur propre double ?

3) Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

4) Supposons dans cette question que $A$ est positive.

(a) Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives (utiliser $(1)$ en prenant pour $X$ un des vecteurs propres de $A$ ).

(b) En déduire que les nombres $\det(A)$ et $\mathrm{Tr}(A)$ sont positifs.

5) Montrer que si $\det(A)\ge0$ et $\mathrm{Tr}(A)=0$ alors $A=(0)$ (où $(0)$ est la matrice nulle de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ).

6) Supposons dans cette question que $\det(A)\ge0$ et $\mathrm{Tr}(A)>0$ .

(a) Pour $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2$ , écrire l'expression de ${}^tXAX$ comme polynôme en $x$ et $y$ .

(b) En déduire que $A$ est positive.

(c) Conclure au théorème selon lequel : « une matrice symétrique $M$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est positive si et seulement si $\det(M)\ge0$ et $\mathrm{Tr}(M)\ge0$ ».

7) En utilisant le théorème établi à la question précédente, montrer que si $A$ est positive et inversible alors sa matrice inverse $A^{-1}$ est positive.

◀الحل

1) Valeurs propres réelles

Le polynôme caractéristique de $A$ est $\chi_A(\lambda)=\lambda^2-(a+c)\lambda+(ac-b^2),$ de discriminant $\Delta=(a+c)^2-4(ac-b^2)=(a-c)^2+4b^2\ \ge\ 0.$ Les racines de $\chi_A$ sont donc réelles.

2) Valeur propre double

Il y a valeur propre double si et seulement si $\Delta=0$ , c'est-à-dire $(a-c)^2+4b^2=0\iff a=c\ \text{et}\ b=0,$ autrement dit $A=aI_2$ (matrice scalaire).

3) Diagonalisabilité

Si $\Delta>0$ : $A$ possède deux valeurs propres réelles distinctes, donc $A$ est diagonalisable.
Si $\Delta=0$ : d'après 2), $A=aI_2$ est déjà diagonale.

Dans tous les cas, $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

4) Cas où $A$ est positive

(a) Soit $X\neq0$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ . Alors ${}^tXAX={}^tX(\lambda X)=\lambda\,{}^tXX=\lambda\|X\|^2\ge0$ par $(1)$ , et comme $\|X\|^2>0$ , on obtient $\lambda\ge0$ .

(b) En notant $\lambda_1,\lambda_2\ge0$ les valeurs propres : $\det(A)=\lambda_1\lambda_2\ge0,\qquad\mathrm{Tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2\ge0.$

5) $\det(A)\ge0$ et $\mathrm{Tr}(A)=0\ \Rightarrow\ A=(0)$

$\lambda_1+\lambda_2=0$ donne $\lambda_2=-\lambda_1$ , d'où $\det(A)=-\lambda_1^2\ge0$ , ce qui impose $\lambda_1=\lambda_2=0$ . Comme $A$ est diagonalisable (question 3), $A$ est semblable à la matrice nulle, donc $A=(0)$ .

6) Cas où $\det(A)\ge0$ et $\mathrm{Tr}(A)>0$

(a) ${}^tXAX=ax^2+2bxy+cy^2$ .

(b) De $ac\ge b^2\ge0$ et $a+c>0$ , on déduit $a\ge0$ et $c\ge0$ (même signe et somme strictement positive), avec $a>0$ ou $c>0$ .

Si $a>0$ : mise sous forme canonique, $ax^2+2bxy+cy^2=a\Big(x+\frac ba y\Big)^2+\frac{ac-b^2}{a}\,y^2\ \ge\ 0.$
Si $a=0$ : alors $b^2\le ac=0$ donc $b=0$ , et $c=\mathrm{Tr}(A)>0$ , d'où ${}^tXAX=cy^2\ge0$ .

Dans les deux cas, $A$ est positive.

(c) Sens direct : si $M$ symétrique est positive, la question 4 donne $\det(M)\ge0$ et $\mathrm{Tr}(M)\ge0$ . Réciproque : si $\det(M)\ge0$ et $\mathrm{Tr}(M)\ge0$ , deux cas se présentent — si $\mathrm{Tr}(M)>0$ , la question 6(b) montre que $M$ est positive ; si $\mathrm{Tr}(M)=0$ , la question 5 donne $M=(0)$ , qui est positive. D'où le théorème : $\boxed{M\ \text{symétrique positive}\iff\det(M)\ge0\ \text{et}\ \mathrm{Tr}(M)\ge0}.$

7) Inverse d'une matrice positive inversible

$A^{-1}$ est symétrique car ${}^t(A^{-1})=({}^tA)^{-1}=A^{-1}$ .

$A$ étant positive et inversible, ses valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$ sont $\ge0$ et de produit $\det(A)\neq0$ : elles sont donc strictement positives. Les valeurs propres de $A^{-1}$ sont $\dfrac1{\lambda_1},\dfrac1{\lambda_2}>0$ , d'où $\det(A^{-1})=\frac{1}{\lambda_1\lambda_2}>0,\qquad\mathrm{Tr}(A^{-1})=\frac1{\lambda_1}+\frac1{\lambda_2}>0.$ Par le théorème de la question 6(c), $A^{-1}$ est positive.

التمرين 2

Distance à un sous-espace fermé et lemme de Riesz

#espaces vectoriels normés#distance à un sous-espace#lemme de Riesz#borne inférieure

Soit $(\mathbb{E},\|\cdot\|)$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel normé. On note $\overline{B}(0,1)$ la boule unité fermée de $\mathbb{E}$ . Soit $\mathbb{F}$ ( $\mathbb{F}\neq\mathbb{E}$ ) un sous-espace vectoriel fermé de $\mathbb{E}$ . On pose $d(x,\mathbb{F})=\inf\{\|y-x\|,\ y\in\mathbb{F}\}.$

1. Étant donnés $x\in\mathbb{E}$ , $y\in\mathbb{F}$ et $\lambda\in\mathbb{R}$ , établir les 3 propriétés suivantes :

(i) $d(x,\mathbb{F})\le\|x\|$ ; (ii) $d(\lambda x,\mathbb{F})=|\lambda|\,d(x,\mathbb{F})$ ; (iii) $d(x-y,\mathbb{F})=d(x,\mathbb{F})$ .

2. Soient $x,x'\in\mathbb{E}$ , montrer que $d(x+x',\mathbb{F})\le d(x,\mathbb{F})+d(x',\mathbb{F}).$

3. Soit $x\in\overline{B}(0,1)$ tel que $\alpha=d(x,\mathbb{F})>0$ .

(a) Montrer que $\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*,\ \exists y\in\mathbb{F}\ :\ \alpha\le\|x-y\|<\alpha(1+\varepsilon)$ .

(b) Montrer que : $\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*,\ \exists\bar x\in\overline{B}(0,1)$ tel que : $d(\bar x,\mathbb{F})=(1+\varepsilon)^{-1}$ .

◀الحل

1. Trois propriétés de la distance

(i) $0\in\mathbb{F}$ (sous-espace vectoriel), donc $d(x,\mathbb{F})\le\|0-x\|=\|x\|.$

(ii) Pour $\lambda\neq0$ : $y\mapsto\dfrac{y}{\lambda}$ est une bijection de $\mathbb{F}$ sur $\mathbb{F}$ , et $\|\lambda x-y\|=|\lambda|\,\Big\|x-\frac{y}{\lambda}\Big\|.$ En passant à la borne inférieure sur $y\in\mathbb{F}$ : $d(\lambda x,\mathbb{F})=|\lambda|\,d(x,\mathbb{F})$ . Pour $\lambda=0$ , les deux membres valent $0$ (car $0\in\mathbb{F}$ ).

(iii) Pour $y\in\mathbb{F}$ fixé : $z\mapsto y+z$ est une bijection de $\mathbb{F}$ sur $\mathbb{F}$ , et $\|(x-y)-z\|=\|x-(y+z)\|,$ donc en passant à l'infimum : $d(x-y,\mathbb{F})=d(x,\mathbb{F})$ .

2. Sous-additivité

Pour tous $y,y'\in\mathbb{F}$ : $y+y'\in\mathbb{F}$ , donc $d(x+x',\mathbb{F})\le\|x+x'-(y+y')\|\le\|x-y\|+\|x'-y'\|.$ En prenant la borne inférieure sur $y$ , puis sur $y'$ : $d(x+x',\mathbb{F})\le d(x,\mathbb{F})+d(x',\mathbb{F}).$

3. Lemme de Riesz

(a) Comme $\alpha(1+\varepsilon)>\alpha=\inf\{\|x-y\|,\ y\in\mathbb{F}\}$ , par caractérisation de la borne inférieure il existe $y\in\mathbb{F}$ tel que $\|x-y\|<\alpha(1+\varepsilon)$ ; et par définition de l'infimum, $\|x-y\|\ge\alpha$ . D'où $\alpha\le\|x-y\|<\alpha(1+\varepsilon).$

(b) Soit $y\in\mathbb{F}$ donné par (a). Posons $\bar x=\frac{x-y}{\alpha(1+\varepsilon)}.$

$\bar x\in\overline{B}(0,1)$ : en effet $\|\bar x\|=\dfrac{\|x-y\|}{\alpha(1+\varepsilon)}<1$ d'après (a).
Par les propriétés (ii) puis (iii) : $d(\bar x,\mathbb{F})=\frac{1}{\alpha(1+\varepsilon)}\,d(x-y,\mathbb{F})=\frac{1}{\alpha(1+\varepsilon)}\,d(x,\mathbb{F})=\frac{\alpha}{\alpha(1+\varepsilon)}=(1+\varepsilon)^{-1}.$

D'où l'existence de $\bar x\in\overline{B}(0,1)$ avec $d(\bar x,\mathbb{F})=(1+\varepsilon)^{-1}$ : c'est le lemme de Riesz, qui fournit des vecteurs de la boule unité presque à distance $1$ de tout sous-espace fermé propre.