مسابقة دكتوراه 2019 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات

Concours Doctorat LMD, épreuve commune Mathématiques de base, Université A. Mira de Béjaïa, 16 novembre 2019.

التمرين 1

Matrices symétriques positives d'ordre deux

#linear-algebra#eigenvalues#positive-semidefinite

Pour $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$ , étudier valeurs propres, diagonalisation et positivité en fonction de la trace et du déterminant.

◀الحل

Le discriminant est $(a-c)^2+4b^2\ge0$ . Le théorème spectral donne $A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)Q^T$ . On a $A\ge0$ si et seulement si $\lambda_i\ge0$ , équivalent à $\det A\ge0$ et $\operatorname{tr}A\ge0$ . Si $A$ est inversible positive, $A^{-1}$ est positive définie.

التمرين 2

Distance à un sous-espace fermé

#normed-spaces#distance#quotient-norm

Pour un sous-espace fermé propre $F$ d'un espace normé, établir les propriétés de $d(x,F)$ et construire dans la boule unité un vecteur de distance à $F$ supérieure à $(1+\varepsilon)^{-1}$ .

◀الحل

L'inclusion $0\in F$ , les changements de variable dans l'infimum et l'inégalité triangulaire donnent domination, homogénéité, invariance par translation dans $F$ et sous-additivité. Si $\alpha=d(x,F)>0$ , choisir $y\in F$ avec $\alpha\le\|x-y\|<\alpha(1+\varepsilon)$ et poser $z=(x-y)/\|x-y\|$ . Alors $\|z\|=1$ et $d(z,F)=\alpha/\|x-y\|>(1+\varepsilon)^{-1}$ .