مسابقة دكتوراه 2019 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

Concours Doctorat LMD, spécialité Analyse, Analyse Mathématique, Université A. Mira de Béjaïa, 16 novembre 2019.

التمرين 1

Application double et points périodiques

#doubling-map#periodic-points#dense-orbit

Pour $B(x)=2x\pmod1$ sur $[0,1)$ , compter les points périodiques, étudier l'équicontinuité et donner une orbite dense.

◀الحل

$B^n(x)=x$ équivaut à $(2^n-1)x\in\mathbb Z$ , donc il y a $2^n-1$ points. Le nombre de période exacte $n$ est $a_n=\sum_{d|n}\mu(n/d)(2^d-1)$ ; pour $p$ premier, $a_p=2^p-2$ . L'expansion des distances exclut l'équicontinuité. Une expansion binaire contenant tous les mots finis fournit une orbite dense.

التمرين 2

Riccati y'=x²+y² et explosion

#ode#riccati#finite-time-blowup

Étudier la solution maximale de $y'=x^2+y^2$ , $y(0)=0$ .

◀الحل

L'unicité donne l'imparité et $y'\ge0$ la monotonie. Pour $x>0$ , $y\ge x^3/3$ , puis $y'\ge y^2$ entraîne une explosion en temps fini. L'intervalle maximal est $(-T,T)$ , avec $y\to+\infty$ en $T$ et $y\to-\infty$ en $-T$ .

التمرين 3

Fonctions presque périodiques et coefficients de Bohr

#almost-periodic#bohr-fourier#uniform-approximation

Établir bornitude et approximation uniforme des fonctions presque périodiques, puis calculer leurs coefficients moyens pour un polynôme exponentiel.

◀الحل

La relative densité des presque-périodes ramène toute valeur à un intervalle compact, donc donne la bornitude. Les polynômes $Q(t)=\sum a_ke^{i\lambda_kt}$ sont uniformément denses dans $AP$ . Enfin $T^{-1}\int_0^TQ(t)e^{-i\lambda t}dt$ tend vers $a_k$ si $\lambda=\lambda_k$ et vers $0$ sinon.