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مسابقة دكتوراه 2022 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours national d'entrée en Doctorat LMD — Épreuve : Mathématiques fondamentales — 24/02/2022

التمرين 1

Matrice 2×2 à colonnes de somme 1 et vecteurs propres

#algèbre linéaire#valeurs propres#diagonalisation

Soit A=(abcd)∈M2(R)A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) telle que la somme des coefficients de chacune de ses colonnes vaut 11 : a+c=1a+c=1 et b+d=1b+d=1. Pour v=(xy)∈R2v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2, on pose s(v)=x+ys(v)=x+y.

1. Montrer que pour tout v∈R2v\in\mathbb{R}^2, on a s(Av)=s(v)s(Av)=s(v).

2. Montrer que ε=(1−1)\varepsilon=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} est un vecteur propre de AA. On note λ\lambda la valeur propre associée.

3. Soit vv un vecteur propre de AA associé à une valeur propre μ\mu, non colinéaire à ε\varepsilon. Montrer que μ=1\mu=1.

4. En déduire que si λ≠1\lambda\neq1, alors AA est diagonalisable.

Attention à ne pas confondre avec les matrices stochastiques usuelles, où ce sont les lignes qui somment à 1 : ici ce sont les colonnes (c'est la transposée d'une matrice stochastique). L'idée clé est que la forme linéaire s(v)=x+ys(v)=x+y est conservée par AA, et que ε=(1,−1)\varepsilon=(1,-1) engendre son noyau : ε\varepsilon isole exactement la direction « d'écart », ce qui donne immédiatement les deux valeurs propres 11 et λ=a−b\lambda=a-b.

◀الحل

1. ss est conservée par AA

Pour v=(xy)v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} : Av=(ax+bycx+dy),s(Av)=(a+c)x+(b+d)y=x+y=s(v),Av=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix},\qquad s(Av)=(a+c)x+(b+d)y=x+y=s(v), en utilisant a+c=1a+c=1 et b+d=1b+d=1.

2. ε=(1,−1)\varepsilon=(1,-1) est propre

Aε=(a−bc−d),etc−d=(1−a)−(1−b)=b−a=−(a−b).A\varepsilon=\begin{pmatrix}a-b\\c-d\end{pmatrix},\qquad\text{et}\qquad c-d=(1-a)-(1-b)=b-a=-(a-b). Donc Aε=(a−b)(1−1)=(a−b) εA\varepsilon=(a-b)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=(a-b)\,\varepsilon : ε\varepsilon est un vecteur propre de AA, de valeur propre λ=a−b.\boxed{\lambda=a-b}.

On remarque que ε\varepsilon engendre exactement le noyau de la forme linéaire ss : s(v)=0  ⟺  v∈Vect(ε)s(v)=0\iff v\in\mathrm{Vect}(\varepsilon).

3. Toute autre valeur propre vaut 11

Soit v≠0v\neq0 avec Av=μvAv=\mu v et vv non colinéaire à ε\varepsilon. Alors s(v)≠0s(v)\neq0 (sinon v∈ker⁡s=Vect(ε)v\in\ker s=\mathrm{Vect}(\varepsilon)). En appliquant la question 1 : s(v)=s(Av)=s(μv)=μ s(v),s(v)=s(Av)=s(\mu v)=\mu\,s(v), et comme s(v)≠0s(v)\neq0 : μ=1.\boxed{\mu=1}.

4. Diagonalisabilité lorsque λ≠1\lambda\neq1

Dans la base (e1,ε)(e_1,\varepsilon) (libre car e1∉Vect(ε)e_1\notin\mathrm{Vect}(\varepsilon)), écrivons Ae1=(ac)=x e1+y εAe_1=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}=x\,e_1+y\,\varepsilon : on trouve y=−cy=-c et x=a+c=1x=a+c=1, donc Mat(e1,ε)(A)=(10−cλ).\mathrm{Mat}_{(e_1,\varepsilon)}(A)=\begin{pmatrix}1&0\\-c&\lambda\end{pmatrix}. Cette matrice triangulaire montre que les valeurs propres de AA sont exactement 11 et λ\lambda (on retrouve Tr(A)=1+λ\mathrm{Tr}(A)=1+\lambda).

Si λ≠1\lambda\neq1, la matrice AA possède deux valeurs propres distinctes en dimension 22, donc A est diagonalisable.\boxed{A\ \text{est diagonalisable}.}

التمرين 2

Convergence en loi de $n^{\lambda} I_n$ où $I_n=\min(X_1,\dots,X_n)$

#probabilités#convergence en loi#statistiques d'ordre#loi de Weibull

Soit α>0\alpha>0 et (Xn)n≥1(X_n)_{n\ge1} une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, de fonction de répartition F(x)=xα+1 pour x∈[0,1],F(x)=0 si x<0,F(x)=1 si x>1.F(x)=x^{\alpha+1}\ \text{pour}\ x\in[0,1],\qquad F(x)=0\ \text{si}\ x<0,\qquad F(x)=1\ \text{si}\ x>1. On pose In=min⁡(X1,…,Xn)I_n=\min(X_1,\dots,X_n) et, pour λ>0\lambda>0, on étudie la suite (nλIn)n≥1(n^{\lambda}I_n)_{n\ge1}.

1. Calculer, pour t≥0t\ge0, la fonction de répartition de nλInn^{\lambda}I_n.

2. Étudier, suivant les valeurs de λ\lambda, la convergence en loi de la suite (nλIn)(n^{\lambda}I_n). On distinguera les cas λ=1α+1\lambda=\dfrac{1}{\alpha+1}, λ<1α+1\lambda<\dfrac{1}{\alpha+1} et λ>1α+1\lambda>\dfrac{1}{\alpha+1}.

Le seuil critique λ=1α+1\lambda=\dfrac{1}{\alpha+1} n'est pas arbitraire : il correspond exactement au taux de décroissance du minimum, In∼n−1/(α+1)I_n\sim n^{-1/(\alpha+1)}. En dessous de ce taux, la normalisation est trop faible (limite dégénérée en 00) ; au-dessus, elle est trop forte (explosion vers +∞+\infty). Il faut impérativement traiter les trois cas et justifier le passage à la limite (1−un/n)n→e−u\big(1-u_n/n\big)^n\to e^{-u} lorsque un→uu_n\to u.

◀الحل

1. Fonction de répartition de nλInn^{\lambda}I_n

Par indépendance, pour s∈[0,1]s\in[0,1] : P(In>s)=∏k=1nP(Xk>s)=(1−F(s))n=(1−sα+1)n.P(I_n>s)=\prod_{k=1}^{n}P(X_k>s)=\big(1-F(s)\big)^n=\big(1-s^{\alpha+1}\big)^n. Donc, pour t≥0t\ge0 tel que t/nλ≤1t/n^{\lambda}\le1 : FnλIn(t)=P(In≤t n−λ)=1−(1−tα+1nλ(α+1))n,F_{n^{\lambda}I_n}(t)=P\big(I_n\le t\,n^{-\lambda}\big)=1-\Big(1-\frac{t^{\alpha+1}}{n^{\lambda(\alpha+1)}}\Big)^n, et FnλIn(t)=1F_{n^{\lambda}I_n}(t)=1 si t≥nλt\ge n^{\lambda}.

2. Convergence en loi suivant λ\lambda

Le comportement est gouverné par n⋅tα+1nλ(α+1)=tα+1 n1−λ(α+1).n\cdot\frac{t^{\alpha+1}}{n^{\lambda(\alpha+1)}}=t^{\alpha+1}\,n^{1-\lambda(\alpha+1)}.

Cas λ=1α+1\lambda=\dfrac{1}{\alpha+1} (cas critique). Alors 1−λ(α+1)=01-\lambda(\alpha+1)=0 et, pour tout t≥0t\ge0 : FnλIn(t)=1−(1−tα+1n)n→n→∞1−e−tα+1.F_{n^{\lambda}I_n}(t)=1-\Big(1-\frac{t^{\alpha+1}}{n}\Big)^n\xrightarrow[n\to\infty]{}1-e^{-t^{\alpha+1}}. La limite est la fonction de répartition d'une loi de Weibull de paramètre de forme α+1\alpha+1 : n1/(α+1)In →L W,FW(t)=1−e−tα+1, t≥0.\boxed{n^{1/(\alpha+1)}I_n\ \xrightarrow{\mathcal{L}}\ W,\qquad F_W(t)=1-e^{-t^{\alpha+1}},\ t\ge0.}

Cas λ<1α+1\lambda<\dfrac{1}{\alpha+1}. Alors 1−λ(α+1)>01-\lambda(\alpha+1)>0, donc pour tout t>0t>0 : tα+1n1−λ(α+1)→+∞t^{\alpha+1}n^{1-\lambda(\alpha+1)}\to+\infty et (1−tα+1nλ(α+1))n=exp⁡[nln⁡(1−tα+1nλ(α+1))]⟶0,\Big(1-\frac{t^{\alpha+1}}{n^{\lambda(\alpha+1)}}\Big)^n=\exp\Big[n\ln\Big(1-\frac{t^{\alpha+1}}{n^{\lambda(\alpha+1)}}\Big)\Big]\longrightarrow0, d'où FnλIn(t)→1F_{n^{\lambda}I_n}(t)\to1 pour tout t>0t>0 (et →0\to0 pour t<0t<0). La limite est la fonction de répartition de la constante 00 : nλIn →L δ0(convergence vers 0 en probabiliteˊ).\boxed{n^{\lambda}I_n\ \xrightarrow{\mathcal{L}}\ \delta_0\quad(\text{convergence vers }0\text{ en probabilité}).}

Cas λ>1α+1\lambda>\dfrac{1}{\alpha+1}. Alors 1−λ(α+1)<01-\lambda(\alpha+1)<0, donc pour tout t≥0t\ge0 fixé : tα+1n1−λ(α+1)→0t^{\alpha+1}n^{1-\lambda(\alpha+1)}\to0 et FnλIn(t)=1−(1−tα+1nλ(α+1))n⟶0.F_{n^{\lambda}I_n}(t)=1-\Big(1-\frac{t^{\alpha+1}}{n^{\lambda(\alpha+1)}}\Big)^n\longrightarrow0. La limite est nulle pour tout tt : ce n'est la fonction de répartition d'aucune variable aléatoire réelle. nλIn ne converge pas en loi : nλIn→+∞ en probabiliteˊ.\boxed{n^{\lambda}I_n\ \text{ne converge pas en loi : }n^{\lambda}I_n\to+\infty\text{ en probabilité}.}

التمرين 3

Compactifié d'Alexandroff : topologie sur $X\cup\{\infty\}$ et compacité

#topologie#compacité#compactifié d'Alexandroff#espaces séparés#locale compacité

Soit (X,TX)(X,\mathcal{T}_X) un espace topologique séparé (de Hausdorff), non compact et localement compact. Soit ∞\infty un point n'appartenant pas à XX. On pose X∞=X∪{∞}X^{\infty}=X\cup\{\infty\} et on définit la famille T\mathcal{T} de parties de X∞X^{\infty} par : U∈TU\in\mathcal{T} si et seulement si

  • U⊂XU\subset X et U∈TXU\in\mathcal{T}_X ; ou bien
  • ∞∈U\infty\in U et X∞∖UX^{\infty}\setminus U est une partie compacte de XX.

1. Montrer que T\mathcal{T} est une topologie sur X∞X^{\infty}.

2. Montrer que la topologie induite par T\mathcal{T} sur XX coïncide avec TX\mathcal{T}_X, c'est-à-dire que TX={X∩U : U∈T}\mathcal{T}_X=\{X\cap U\ :\ U\in\mathcal{T}\}.

3. Montrer que (X∞,T)(X^{\infty},\mathcal{T}) est compact.

◀الحل

1. T\mathcal{T} est une topologie sur X∞X^{\infty}

Préliminaire. XX étant séparé, toute partie compacte K⊂XK\subset X est fermée dans XX. On utilisera librement ce fait.

∅\varnothing et X∞X^{\infty}. ∅∈TX\varnothing\in\mathcal{T}_X donc ∅∈T\varnothing\in\mathcal{T} ; et ∞∈X∞\infty\in X^{\infty} avec X∞∖X∞=∅X^{\infty}\setminus X^{\infty}=\varnothing compact, donc X∞∈TX^{\infty}\in\mathcal{T}.

Unions quelconques. Soit (Ui)i∈I⊂T(U_i)_{i\in I}\subset\mathcal{T} et U=⋃iUiU=\bigcup_i U_i.

  • Si aucun UiU_i ne contient ∞\infty : tous sont des ouverts de XX, donc U∈TX⊂TU\in\mathcal{T}_X\subset\mathcal{T}.
  • Si ∞∈Ui0\infty\in U_{i_0} pour un certain i0i_0 : posons K0=X∞∖Ui0K_0=X^{\infty}\setminus U_{i_0}, compact de XX. Alors X∞∖U=⋂i∈I(X∞∖Ui)⊂K0.X^{\infty}\setminus U=\bigcap_{i\in I}\big(X^{\infty}\setminus U_i\big)\subset K_0. Chaque X∞∖UiX^{\infty}\setminus U_i est soit un compact de XX (donc fermé dans XX), soit de la forme X∞∖Ui⊃{∞}X^{\infty}\setminus U_i\supset\{\infty\} avec (X∞∖Ui)∩X=X∖Ui(X^{\infty}\setminus U_i)\cap X=X\setminus U_i fermé dans XX. Dans tous les cas, (X∞∖Ui)∩K0(X^{\infty}\setminus U_i)\cap K_0 est fermé dans K0K_0. Ainsi X∞∖UX^{\infty}\setminus U est une intersection de fermés du compact K0K_0 : c'est un fermé de K0K_0, donc un compact de XX, et ∞∈U\infty\in U. Donc U∈TU\in\mathcal{T}.

Intersections finies. Il suffit de traiter U∩VU\cap V pour U,V∈TU,V\in\mathcal{T}, avec trois cas :

  • U,V∈TXU,V\in\mathcal{T}_X : alors U∩V∈TXU\cap V\in\mathcal{T}_X.
  • ∞∈U\infty\in U et ∞∈V\infty\in V : alors X∞∖(U∩V)=(X∞∖U)∪(X∞∖V)X^{\infty}\setminus(U\cap V)=(X^{\infty}\setminus U)\cup(X^{\infty}\setminus V) est une union de deux compacts de XX, donc un compact de XX, et ∞∈U∩V\infty\in U\cap V.
  • U∈TXU\in\mathcal{T}_X et ∞∈V\infty\in V, avec K=X∞∖VK=X^{\infty}\setminus V compact : alors U∩V=U∩(X∖K),U\cap V=U\cap(X\setminus K), et X∖KX\setminus K est ouvert dans XX (car KK est fermé, XX étant séparé), donc U∩V∈TXU\cap V\in\mathcal{T}_X.

Donc T\mathcal{T} est une topologie sur X∞X^{\infty}. ■\blacksquare

2. La topologie induite sur XX est TX\mathcal{T}_X

Inclusion ⊃\supset. Soit U∈TU\in\mathcal{T}.

  • Si U∈TXU\in\mathcal{T}_X : X∩U=U∈TXX\cap U=U\in\mathcal{T}_X.
  • Si ∞∈U\infty\in U avec K=X∞∖UK=X^{\infty}\setminus U compact : X∩U=X∖KX\cap U=X\setminus K, qui est ouvert dans XX car KK est fermé dans XX (XX séparé).

Donc {X∩U:U∈T}⊂TX\{X\cap U:U\in\mathcal{T}\}\subset\mathcal{T}_X.

Inclusion ⊂\subset. Tout V∈TXV\in\mathcal{T}_X appartient à T\mathcal{T} (premier type d'ouverts) et V=X∩VV=X\cap V.

D'où TX={X∩U : U∈T} : X est un sous-espace topologique de X∞.\boxed{\mathcal{T}_X=\{X\cap U\ :\ U\in\mathcal{T}\}\ :\ X\ \text{est un sous-espace topologique de}\ X^{\infty}.}

3. (X∞,T)(X^{\infty},\mathcal{T}) est compact

Soit (Ui)i∈I(U_i)_{i\in I} un recouvrement ouvert de X∞X^{\infty}.

Le point ∞\infty appartient à un certain Ui0U_{i_0} ; par définition de T\mathcal{T}, K=X∞∖Ui0K=X^{\infty}\setminus U_{i_0} est un compact de XX.

La famille (X∩Ui)i∈I(X\cap U_i)_{i\in I} est constituée d'ouverts de XX (question 2) et recouvre KK. Par compacité de KK, il existe i1,…,ip∈Ii_1,\dots,i_p\in I tels que K⊂(X∩Ui1)∪⋯∪(X∩Uip)⊂Ui1∪⋯∪Uip.K\subset(X\cap U_{i_1})\cup\cdots\cup(X\cap U_{i_p})\subset U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_p}. Alors X∞=K∪Ui0⊂Ui0∪Ui1∪⋯∪Uip:X^{\infty}=K\cup U_{i_0}\subset U_{i_0}\cup U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_p}: on a extrait un sous-recouvrement fini. (X∞,T) est compact : c’est le compactifieˊ d’Alexandroff de X.\boxed{(X^{\infty},\mathcal{T})\ \text{est compact : c'est le compactifié d'Alexandroff de}\ X.}