مسابقة دكتوراه 2025 — Université Abderrahmane Mira

التمرين 1

Exercice 1 — Endomorphismes contractants et diagonalisation

#linear-algebra#endomorphism#diagonalization#euclidean-space

(2 pts) Vérifier que $\text{Id}_E \notin S$ .
(2 pts) Montrer que $S$ est stable pour $\circ$ .
(2 pts) $S \cap GL(E)$ est-il un sous-groupe de $(GL(E), \circ)$ ?
(2 pts) Soit $\varphi \in S$ . Montrer que $\ker(\varphi - \text{Id}_E) = \{0_E\}$ , puis $\varphi - \text{Id}_E \in GL(E)$ .
(6 pts) $\psi$ de matrice $M = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , $e_1' = \frac{1}{\sqrt{3}}(e_1 - e_2 - e_3)$ , $e_2' = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_1 + e_2)$ , $e_3' = \frac{1}{\sqrt{6}}(e_1 - e_2 + 2e_3)$ . Vérifier $B'$ orthonormée, calculer $\psi(e_i')$ , écrire $D$ , justifier diagonale, calculer $\|\psi(z)\|$ , en déduire $\psi \in S$ .

◀الحل

$\|x\| \leq k\|x\|$ avec $k \lt 1$ impossible : $\text{Id}_E \notin S$ .

$\|\varphi\circ\psi(x)\| \leq k_\varphi k_\psi\|x\| \lt \|x\|$ : stable.

Non : un contractant n'est pas inversible, $S \cap GL(E) = \emptyset$ .

$\varphi(x)=x \Rightarrow \|x\|\leq k\|x\| \Rightarrow x=0$ , donc $\varphi - \text{Id}_E \in GL(E)$ .

$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & \tfrac{2}{3} & 0 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}$

diagonale (base propre), $\|\psi(z)\| = \tfrac{2}{3}\sqrt{z_2^2+z_3^2} \leq \tfrac{2}{3}\|z\|$ , donc $\boxed{\psi \in S}$ .

Exercice 2 — Transformations d'une variable uniforme

#probability#uniform-distribution#transformation#density-function

Soit $U \sim \mathcal{U}[0,1]$ .

(2 pts) $X = aU + b$ ( $a,b \gt 0$ ). Fonction de répartition et loi ; valeurs de $a,b$ pour $X \in [-1,1]$ .
(2 pts) Loi de $Y = 1 + [6U]$ .
(2 pts) $Z = \frac{1-U}{U}$ : expression de $E(g(Z))$ et densité de $Z$ .

◀الحل

$X \sim \mathcal{U}(b, a+b)$ , $\boxed{a=2, b=-1}$ .

$\boxed{Y \sim \text{uniforme discrète sur }\{1,\ldots,6\}}$

$\boxed{f_Z(z) = \frac{1}{(1+z)^2}, \quad z \gt 0}$